动点问题
1. （2012上海市14分）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E． （1）当BC=1时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；
（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．
【答案】解：（1）∵点O是圆心，OD⊥BC，BC=1，∴BD=
11BC=。 222215?1? 又∵OB=2，∴OD=OB?BD?2????。
22??22（2）存在，DE是不变的。
如图，连接AB，则AB=OB2+OA2?22。 ∵D和E是中点，∴DE=AB=2。 （3）∵BD=x，∴OD?4?x2。
∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠AOB=90。 ∴∠2+∠3=45°。
过D作DF⊥OE，垂足为点F。∴DF=OF=0
124?x22。
由△BOD∽△EDF，得
BDOD=，即 EFDFx4?x21=，解得EF=x。
2EF24?x2第 1 页 共 44 页
∴OE=∴
x+4?x22。
114?x2x+4?x24?x2+x4?x2。 y?DF?OE???=（0 【分析】（1）由OD⊥BC，根据垂径定理可得出BD=即可求出OD的长。 （2）连接AB，由△AOB是等腰直角三角形可得出AB的长，再由D和E是中点，根据三角形中位线定理可得出DE= 2。 （3）由BD=x，可知OD?4?x2，由于∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=45°，过D作DF⊥OE，则DF=OF=系式。 ∵AB=OB2+OA2?22，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）， ∴0 2. （2012福建南平14分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C． （1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明） 答：结论一： ；结论二： ；结论三： ． （2）若∠B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合）， ①求CE的最大值； ②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长． （注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明） 11BC= ，在Rt△BOD中利用勾股定理224?x22，EF=12x，OE=x+4?x22，即可求得y关于x的函数关 第 2 页 共 44 页 【答案】解：（1）AB=AC；∠AED=∠ADC；△ADE∽△ACD。 （2）①∵∠B=∠C，∠B=45°，∴△ACB为等腰直角三角形。 ∴AC?22BC??2?2。 22∵∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，∴△ADE∽△ACD。 AD2AD22?∴AD：AC=AE：AD，∴AE??AD2 。 AC2 2当AD最小时，AE最小，此时AD⊥BC，AD=∴AE的最小值为 1BC=1。 222222。∴CE的最大值= 2?。 ?1??2222②当AD=AE时，∴∠1=∠AED=45°，∴∠DAE=90°。 ∴点D与B重合，不合题意舍去。 当EA=ED时，如图1，∴∠EAD=∠1=45°。 ∴AD平分∠BAC，∴AD垂直平分BC。∴BD=1。 当DA=DE时，如图2， ∵△ADE∽△ACD，∴DA：AC=DE：DC。 ∴DC=CA=2。∴BD=BC－DC=2－2。 综上所述，当△ADE是等腰三角形时，BD的长的长为1或 2－2。 【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰（直角）三角形的判定和性质。 【分析】（1）由∠B=∠C，根据等腰三角形的性质可得AB=AC；由∠1=∠C，∠AED=∠EDC+∠C得到∠AED=∠ADC；又由∠DAE=∠CAD，根据相似三角形的判定可得到△ADE∽△ACD。 （2）①由∠B=∠C，∠B=45°可得△ACB为等腰直角三角形，则 AC?22BC??2?2，由∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，根据相似三角形的判定可得22AD2AD22?△ADE∽△ACD，则有AD：AC=AE：AD，即AE??AD2，当AD⊥BC，AD最AC2 2第 3 页 共 44 页 小，此时AE最小，从而由CE=AC－AE得到CE的最大值。 ②分当AD=AE，，EA=ED，DA=DE三种情况讨论即可。 3. （2012甘肃兰州12分）如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为(－3，0)、(0，4)，抛物线y＝bx＋c经过点B，且顶点在直线x＝(1)求抛物线对应的函数关系式； (2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由； (3)在(2)的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标； (4)在(2)、(3)的条件下，若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合)，过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由． 22 x＋35上． 2 【答案】解：（1）∵抛物线y＝ 22 x＋bx＋c经过点B(0，4)，∴c＝4。 3510b5∵顶点在直线x＝上，∴?=，解得b=?。 22232?3210∴所求函数关系式为y=x2?x+4。 33（2）在Rt△ABO中，OA＝3，OB＝4，∴AB=OA2?OB2?5。 ∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝DA＝AB＝5。 ∴C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)， 第 4 页 共 44 页 210?5+4=4； 33210当x＝2时，y=?22??2+4=0。 33当x＝5时，y=?52?∴点C和点D都在所求抛物线上。 （3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点， 设直线CD对应的函数关系式为y＝kx＋b， ?4k=?48?5k+b=4?3则?，解得，?。∴直线CD对应的函数关系式为y=x?。 82k+b=033??b=??3?当x＝ 5458252 )。 时，y=??=。∴P(，2323323（4）∵MN∥BD，∴△OMN∽△OBD。 ∴设 OMONtONt?，即?，得ON?。 OBOD422对 称 轴 交 x 于 点 F ， 则 11?2?555S梯形PFOM???PF?OM??OF=??+t??=t+。 22?3?246∵S?MON?1111?OM?ON=?t?t=t2， 222411?51?215S?PME??NF?PF=???t??=?t+ ， 22?22?366S=S梯形PFOM?S?MON?S?PME 551117?15??t+?t2???t+???t2+t (0＜t＜4)。 464412?66?1171?17?289117∵S=?t2+t=??t??+，?<0，0＜＜4， 4124?6?14446∴当t=21728917时，S取最大值是。此时，点M的坐标为(0，)。 61446【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质。 【分析】（1）根据抛物线y＝b，c即可。 225x＋bx＋c经过点B(0，4)，以及顶点在直线x＝上，得出32第 5 页 共 44 页