5474t?9)?(4?t)2?t2?38t?25②， 557454或(t2?38t?25)?(4?t)2?9t2?t?9③，
55或(9t2?上述三个方程在0≤t≤
5内的所有实数解为 3t1?1520，t2?1，t3?0，t4?。 191720时，以Rt△ODE的三个顶点17（4）当DO⊥OE，及DE⊥OE时，即t3?0和t4?不确定对
称轴平行于y轴的抛物线，其它两种情况都可以各确定一条对称轴平行于y轴的抛物线。
129t，3?t），E（4-t，0） 55126∴当t2?1时，D（，），E（3，0）。
55∵D（
∵抛物线过O（0，0），∴设所求抛物线为y?ax2?bx，将点D，E坐标代
入，得
5?a???614412?a+b?=?6，解得。 5?525?5??b??0=9a+3b?2?55∴所求抛物线为y??x2?x。
62【考点】二次函数综合题，动点问题，矩形的性质，锐角三角函数定义，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理和逆定理，解一元二次方程和二元一次方程组。
【分析】（1）在Rt△AOC中，已知AO的长以及∠ACB的正弦值，能求出OC的长，即可确定
点C的坐
标，利用待定系数法能求出直线AC的解析式。
（2）过D作AO、OC的垂线，通过构建相似三角形来求出点D的坐标。
（3）用t表示出OD、DE、OE的长，若△ODE为直角三角形，那么三边符合勾股定理，据此列方 程求出对应的t的值。
（4）根据（3）的结论能得到t的值，△ODE中，当OD⊥x轴或DE垂直x轴时，都不能确定“一
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条对称轴平行于y轴的抛物线”，余下的情况都是符合要求的，首先得D、E的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式。
当t1?151961x。 时，所求抛物线为y??x2?19303018. （2012四川巴中12分）如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴上，
四边形ABCO
为矩形，AB=16，点D与点A关于y轴对称，tan∠ACB=
的动点（点
E不与点A，D重合），且∠CEF=∠ACB。 （1）求AC的长和点D的坐标； （2）说明△AEF与△DCE相似；
（3）当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标。
4，点E，F分别是线段AD，AC上3
【答案】解：（1）∵四边形ABCO为矩形，∴∠B=90°。
在
Rt△ABC
中
，
BC=AB÷tan∠ACB=16÷
43=12 ，
AC=AB2?BC2?162+122?20。
则AO=BC=12。∴ A（-12，0）。
∵点D与点A关于y轴对称，∴D（12，0）。 （2）∵点D与点A关于y轴对称，∴∠CDE=∠CAO。
∵∠CEF=∠ACB，∠ACB=∠CAO，∴∠CDE=∠CEF。
又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠CDE+∠DCE（三角形外角性质），∴∠AEF=∠DCE。 则在△AEF与△DCE中，∠CDE=∠CAO，∠AEF=∠DCE， ∴△AEF∽△DCE。
（3）当△EFC为等腰三角形时，有以下三种情况：
①当CE=EF时，∵△AEF∽△DCE，∴△AEF≌△DCE。∴AE=CD=20。
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∴OE=AE－OA=20－12=8。∴E（8，0）。
②当EF=FC时，如图所示，过点F作FM⊥CE于M，
则点M为CE中点。
∴CE=2ME=2EF?cos∠CEF=2EF?cos∠ACB=
6EF。 5∵点D与点A关于y轴对称，∴CD=AC=20。 ∵△AEF∽△DCE，
EFAE50EFAE。 ? ，即? ，解得 AE?6CECD320EF5501414?12?，∴E（ ，0）∴OE=AE－OA=。 333∴
③当CE=CF时，则有∠CFE=∠CEF， ∵∠CEF=∠ACB=∠CAO，∴∠CFE=∠CAO。 即此时F点与A点重合，这与已知条件矛盾。
综上所述，当△EFC为等腰三角形时，点E的坐标为（8，0）或（
14，0）。 3【考点】坐标与图形性质，矩形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义。
【分析】（1）利用矩形的性质，在Rt△ABC中，利用三角函数求出AC、BC的长度，从而得
到A点坐标；
由点D与点A关于y轴对称，进而得到D点的坐标。
（2）欲证△AEF与△DCE相似，只需要证明两个对应角相等即可，在△AEF与△DCE中，易知
∠CDE=∠CAO，∠AEF=∠DCE，从而问题解决。
（3）当△EFC为等腰三角形时，需要分CE=EF，EF=FC，CE=CF三种情况讨论。
19. （2012山东临沂11分）已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．
（1）如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC=90°；
（2）如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，当b＜2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
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【答案】（1）证明：∵b=2a，点M是AD的中点，∴AB=AM=MD=DC=a，
又∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，∴∠AMB=∠DMC=45°。 ∴∠BMC=90°。
（2）解：存在，理由如下：
若∠BMC=90°，则∠AMB=∠DMC=90°。 又∵∠AMB+∠ABM=90°，∴∠ABM=∠DMC。 又∵∠A=∠D=90°，∴△ABM∽△DMC。∴设AM=x，则
AMAB?。 CDDMxa22
?，整理得：x﹣bx+a=0。 bb?x2
2
∵b＞2a，a＞0，b＞0，∴△=b﹣4a＞0。 ∴方程有两个不相等的实数根。 又∵两根之积等于a＞0，∴两根同号。
又∵两根之和等于b ＞0，∴两根为正。符合题意。 ∴当b＞2a时，存在∠BMC=90°。
（3）解：不成立．理由如下：
若∠BMC=90°，由（2）可知x﹣bx+a=0，
∵b＜2a，a＞0，b＞0，∴△=b﹣4a＜0，∴方程没有实数根。 ∴当b＜2a时，不存在∠BMC=90°，即（2）中的结论不成立。
【考点】动点问题，矩形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。
【分析】（1）由b=2a，点M是AD的中点，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四边形ABCD是矩形，即可求得∠AMB=∠DMC=45°，则可求得∠BMC=90°。
（2）由∠BMC=90°，易证得△ABM∽△DMC，设AM=x，根据相似三角形的对应边成比例，即
可得方程：x2-bx+a2=0，由b＞2a，a＞0，b＞0，即可判定△＞0，结合根与系数的关系可确定方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意。
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（3）用反证法，由（2），当b＜2a，a＞0，b＞0，判定方程x2-bx+a2=0的根的情况，即可求得答案。
20. （2012山东济宁10分）如图，抛物线y=ax+bx﹣4与x轴交于A（4，0）、B（﹣2，0）两点，与y轴交于点C，点P是线段AB上一动点（端点除外），过点P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当动点P运动到何处时，BP=BD?BC； （3）当△PCD的面积最大时，求点P的坐标．
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【答案】解：（1）∵抛物线y=ax+bx﹣4与x轴交于A（4，0）、B（﹣2，0）两点
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?1?16a+4b?4=0?a=∴?，解得?2。 ?4a?2b?4=0??b=?1∴抛物线的解析式为y=x2?x?4。 （2）设点P运动到点（x，0）时，有BP=BD?BC，
在y=x2?x?4中，令x=0时，则y=﹣4，∴点C的坐标为（0，﹣4）。 ∵PD∥AC，∴△BPD∽△BAC。∴
2
1212BDBP?。 BCBA∵BC?BC2?OC2?22?42?25，AB=6，BP=x﹣（﹣2）=x+2 ∴BD252
?x+25，即BD??x+2?。 632∵BP=BD?BC，∴?x+2??意，舍去）。
45?x+2??25，解得x1=，x2=﹣2（不合题
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