∴当 OQ=OC 时，则C1（0，33），C2（0，－）。 22当 OQ=CQ 时，则 C3（0，1）。
（2）①∵点P的横坐标为m，∴P（m，m）。设 Q（n，n），
2
2
n2?nBQBO1=2，得n=?。 =∵△APO∽△BOQ，∴。∴
mmAOAPm∴Q（?11。 ， 2）
mm2
②设直线PO的解析式为：y=kx+b，把P（m，m）、Q（?入，得：
11， 2）代mm?m2=mk+b?，解得b=1。∴M（0，1）。 ?11?2=??k+bm?m∵
QBOB1，∠QBO=∠MOA=90°，∴△QBO∽△MOA。 =?MOAPm2∴∠MAO=∠QOB，∴QO∥MA。 同理可证：EM∥OD。
又∵∠EOD=90°，∴四边形ODME是矩形。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，平行的判定和性质，锐角三角函数定义，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定。
【分析】（1）①已知m的值，代入抛物线的解析式中可求出点P的坐标；由此确定PA、OA的长，通过解直角三角形易得出结论。
②题目要求△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，所以分QO=OC、QC=QO两种情况来判
断：
QO=QC时，Q在线段OC的垂直平分线上，Q、O的纵坐标已知，C点坐标即可确定； QO=OC时，先求出OQ的长，那么C点坐标可确定。
（2）①由∠QOP=90°，易求得△QBO∽△MOA，通过相关的比例线段来表示出点Q
的坐标。
②在四边形ODME中，已知了一个直角，只需判定该四边形是平行四边形即可，那
么可通过证明两组对边平行来得证。
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24. （2012浙江绍兴14分）如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，连接AC，抛物线
y?x2?4x?2经过A，B两点。
（1）求A点坐标及线段AB的长；
（2）若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO，OC，CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒。 ①当PQ⊥AC时，求t的值；
②当PQ∥AC时，对于抛物线对称轴上一点H，∠HOQ＞∠POQ，求点H的纵坐标的取值范围。
【答案】解：（1）由抛物线y?x?4x?2知：当x=0时，y=﹣2，∴A（0，﹣2）。
∵四边形OABC是矩形，∴AB∥x轴，即A、B的纵坐标相同。
当y=﹣2时，?2?x?4x?2，解得x1?0，x2?4。∴B（4，﹣2）。 ∴AB=4。
（2）①由题意知：A点移动路程为AP=t，Q点移动路程为7（t－1）=7 t －7。
当Q点在OA上时，即0?7t?7?2，1?t?229时， 7如图1，若PQ⊥AC，则有Rt△QAP∽Rt△ABC。
QAAP7t?7t7，即=?，解得t?。
ABBC42579∵?，∴此时t值不合题意。 57913当Q点在OC上时，即2?7t?7?6，?t?时，
77∴
如图2，过Q点作QD⊥AB。∴AD=OQ=7（t﹣1）﹣2=7t﹣9。 ∴DP=t﹣（7t﹣9）=9﹣6t。 若PQ⊥AC，则有Rt△QDP∽Rt△ABC，
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QADP29?6t4，即?，解得t?。 =ABBC44394134∵??，∴t?符合题意。 73731315当Q点在BC上时，即6?7t?7?8，?t?时，
77∴
如图3，若PQ⊥AC，过Q点作QG∥AC， 则QG⊥PG，即∠GQP=90°。
∴∠QPB＞90°，这与△QPB的内角和为180°矛盾， 此时PQ不与AC垂直。 综上所述，当t?4时，有PQ⊥AC。 3BPBQ， =BABC②当PQ∥AC时，如图4，△BPQ∽△BAC，∴∴
4?t8?7(t?1)，解得t=2。 ?42即当t=2时，PQ∥AC。此时AP=2，BQ=CQ=1。 ∴P（2，﹣2），Q（4，﹣1）。 抛物线对称轴的解析式为x=2，
当H1为对称轴与OP的交点时，有∠H1OQ=∠POQ， ∴当yH＜﹣2时，∠HOQ＞∠POQ。
作P点关于OQ的对称点P′，连接PP′交OQ于点M，过P′作P′N
垂直于对称轴，垂足为N，连接OP′，
在Rt△OCQ中，∵OC=4，CQ=1。∴OQ=17， ∵S△OPQ=S四边形ABCD﹣S△AOP﹣S△COQ﹣S△QBP=3=
1OQ×PM， 2∴PM=6171217。∴PP′=2PM=。 1717∵NPP′=∠COQ。∴Rt△COQ∽△Rt△NPP′。 ∴
CQOQOC121174'，即，解得 ，==PN?=='''NPPPPN17PN1217PN17PN?48。 17第 43 页 共 44 页
46147。∴直线OP′的解析式为y?，）x。
17172314∴OP′与NP的交点H2（2，）。
2314∴当yH?时，∠HOP＞∠POQ。
2314综上所述，当yH??2或yH?时，∠HOQ＞∠POQ。
23∴P′（
【考点】二次函数综合题，曲线图上点的坐标与方程的关系，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，对称的性质。
【分析】（1）已知抛物线的解析式，将x=0代入即可得A点坐标；由于四边形OABC是矩形，那么A、B纵坐标相同，代入该纵坐标可求出B点坐标，则AB长可求。
（2）①Q点的位置可分：在OA上、在OC上、在CB上 三段来分析，若PQ⊥AC时，
很显然前两种情况符合要求，首先确定这三段上t的取值范围，然后通过相似三角形（或构建相似三角形），利用比例线段来求出t的值，然后由t的取值范围将不合题意的值舍去。
②当PQ∥AC时，△BPQ∽△BAC，通过比例线段求出t的值以及P、Q点的坐标，
可判定P点在抛物线的对称轴上，若P、H1重合，此时有∠H1OQ=∠POQ。若作P点关于OQ的对称点P′，OP′与NP的交点H2，亦可得到∠H2OQ=∠POQ，而题目要求的是∠HOQ＞∠POQ，那么H1点以下、H2点以上的H点都是符合要求的。
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