（2）根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)，利用图象上点
的性质得出x＝5或2时，y的值即可。
（3）首先设直线CD对应的函数关系式为y＝kx＋b，求出解析式，当x＝
出y即可。
（4）利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，进而得出
表示出△PMN的面积，利用二次函数最值求出即可。 4. （2012广东省9分）如图，抛物线y=x2?点C，连接BC、AC． （1）求AB和OC的长；
（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．
5时，求2OMONt?，得到ON?，从而OBOD2123x?9与x轴交于A、B两点，与y轴交于2
【答案】解：（1）在y=x2?123x?9中， 23x?9=0，解得：x1=﹣3，x2=6，∴A（﹣3，0）、B（6，2令x=0，得y=－9，∴C（0，﹣9）； 令y=0，即x2?0）。
∴AB=9，OC=9。
12sS?m??AE??（2）∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC，∴?AED??，即： ??。?19S?ABC?AB????9?92第 6 页 共 44 页
22
12
m（0＜m＜9）。 21912
（3）∵S△AEC=AE?OC=m，S△AED=s=m，
222∴s=
∴S△EDC=S△AEC﹣S△AED
12919281m+m=﹣（m﹣）+。 2222881∴△CDE的最大面积为，
899此时，AE=m=，BE=AB﹣AE=。
22=﹣
又BC?62+92=313，
9EFBEEF过E作EF⊥BC于F，则Rt△BEF∽Rt△BCO，得：?，即：?2。
9313OCBC∴EF?2713。 262
∴以E点为圆心，与BC相切的圆的面积 S⊙E=π?EF=
729?。 52【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，勾股定理，直线与圆相切的性质。
【分析】（1）已知抛物线的解析式，当x=0，可确定C点坐标；当y=0时，可确定A、B点的坐标，从而确定AB、OC的长。
（2）直线l∥BC，可得出△AED∽△ABC，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于s、m的函数关系式；根据题目条件：点E与点A、B不重合，可确定m的取值范围。 （3）①首先用m列出△AEC的面积表达式，△AEC、△AED的面积差即为△CDE的面积，由此可得关于S△CDE关于m的函数关系式，根据函数的性质可得到S△CDE的最大面积以及此时m的值。
②过E做BC的垂线EF，这个垂线段的长即为与BC相切的⊙E的半径，可根据相似
三角形△BEF、△BCO得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解。
5. （2012贵州毕节16分）如图，直线l1经过点A（－1，0），直线l2经过点B(3，0), l1、l2均为与y轴交于点C(0，?3)，抛物线y=a2x+bx+c(a?0)经过A、B、C三点。 （1）求抛物线的函数表达式；
（2）抛物线的对称轴依次与x轴交于点D、与l2交于点E、与抛物线交于点F、与l1交于点G。求证：DE=EF=FG;
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(3)若l1⊥l2于y轴上的C点处，点P为抛物线上一动点，要使△PCG为等腰三角形，请写出符合条件的点P的坐标，并简述理由。
【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c(a?0)经过A（－1，0），B（3，0），C（0，?3）三点，
?3 a??? a?b?c?03??23。 ?∴?9a?3b?c?0 ，解得??b??3??c??3?c??3???∴抛物线的解析式为：y=3223x+x?3． 33（2）证明：设直线l1的解析式为y=kx+b，由直线l1经过A（－1，0），C（0，
?3），得
???k??3 ??k?b?0 ∴ ?，解得?，∴直线l1的解析式为：
b??3????b??3y=-?3x?3 。
直线l2经过B（3，0），C（0，?3）两点，同理可求得直线l2解析式为：
y= 3x?3 。 332233432， x+x?3=?x?1??333343∴对称轴为x=1，D（1，0），顶点坐标为F（1，? ）。
3∵抛物线y=第 8 页 共 44 页
点E为x=1与直线l2：y= （1，?323x?3的交点，令x=1，得y=? ，∴E3323 ）。 3点G为x=1与直线l1：y=-?3x?3 的交点，令x=1，得y=?23 ，
∴G（1，?23）。
∴各点坐标为：D（1，0），E（1，?它们均位于对称轴x=1上。
∴DE=EF=FG=2343 ），F（1，?），G（1，?23 ），3323。 3（3）如图，过C点作C关于对称轴x=1的对称点P1，CP1
交对称轴于H点，连接CF，PG。
△PCG为等腰三角形，有三种情况：
①当CG=PG时，如图，由抛物线的对称性可知，此时P1
满足P1G=CG。
∵C（0，?3），对称轴x=1，∴P1（2，?3 ）。 ②当CG=PC时，此时P点在抛物线上，且CP的长度等
于CG。
如图，C（1，?3 ），H点在x=1上，∴H（1，?3）。 在Rt△CHG中，CH=1，HG=|yG－yH|=|?23 －（?3）|= 3， ∴由勾股定理得：CG?1?2?3?322?2。∴PC=2．
如图，CP1=2，此时与①中情形重合。 又Rt△OAC中，AC?12????2，∴点A满足PC=2的条件，但点A、
C、G在同一条直线上，所以不能构成等腰三角形。
③当PC=PG时，此时P点位于线段CG的垂直平分线上. ∵l1⊥l2，∴△ECG为直角三角形。
由（2）可知，EF=FG，即F为斜边EG的中点。 ∴CF=FG，∴F为满足条件的P点，∴P2（1，?43）。 3第 9 页 共 44 页
又cos?CGE?CG3，∴∠CGE=30°。∴∠HCG=60°。 ?EG2又P1C=CG，∴△P1CG为等边三角形。
∴P1点也在CG的垂直平分线上，此种情形与①重合。
43 ）。 3【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，
综上所述，P点的坐标为P1（2，?3 ）或P2（1，?等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】（1）已知A、B、C三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式。
（2）D、E、F、G四点均在对称轴x=1上，只要分别求出其坐标，就可以得到线段
DE、EF、FG的长度。D是对称轴与x轴交点，F是抛物线顶点，其坐标易求；E是对称轴与直线l2交点，需要求出l2的解析式，G是对称轴与l1的交点，需要求出l1的解析式，而A、B、C三点坐标已知，所以l1、l2的解析式可以用待定系数法求出。从而问题得到解决。
（3）△PCG为等腰三角形，需要分三种情况讨论：CG=PG，CG=PC，PC=PG。
6. （2012贵州遵义12分）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D． （1）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．
【答案】解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠ACB=60°。
∵∠BQD=30°，∴∠QCP=90°。
设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，∴QC=QB+C=6+x。 ∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，∴PC=∴当∠BQD=30°时，AP=2。
（2）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变。理由如下：
作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF。
11QC，即6﹣x=（6+x），解得x=2。 22第 10 页 共 44 页