（2）连接PB，OP，
∵AB为直径，∠AOC=60°，∴∠COB=120°。 当点P移动到弧CB的中点时，∠COP=∠POB=60°。 ∴△COP和△BOP都为等边三角形。∴AC=CP=OA=OP。 ∴四边形AOPC为菱形。
（3）当点P与B重合时，△ABC与△APC重合，显然△ABC≌△APC。
当点P继续运动到CP经过圆心时，△ABC≌△CPA，理由为： ∵CP与AB都为圆O的直径，∴∠CAP=∠ACB=90°。 在Rt△ABC与Rt△CPA中，AB=CP，AC=AC ∴Rt△ABC≌Rt△CPA（HL）。
综上所述，当点P与B重合时和点P运动到CP经过圆心时，△ABC≌△CPA。
【考点】切线的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，菱形的判定。
【分析】（1）连接AC，由直径AB=4，得到半径OA=OC=2，又AC=2，得到AC=OC=OA，即△AOC为等边三角形，可得出三个内角都为60°，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，得到∠APC为30°，由CD为圆O的切线，得到OC垂直于CD，可得出∠OCD为直角，用∠OCD-∠OCA可得出∠ACD的度数。
（2）由∠AOC为60°，AB为圆O的直径，得到∠BOC=120°，再由P为CB 的中
点，得到两条弧相等，根据等弧对等角，可得出∠COP=∠BOP=60°，从而得到△COP与△BOP都为等边三角形，可得出OC=OB=PC=PB，即四边形OBPC为菱形。
（3）点P有两个位置使△APC与△ABC全等，其一：P与B重合时，显然两三角形
全等；第二：当CP为圆O的直径时，此时两三角形全等。
10. （2012江苏无锡10分）如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以
cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s
的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为ts．
（1）当P异于A．C时，请说明PQ∥BC；
（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？
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【答案】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，且菱形ABCD的边长为2，
∴AB=BC=2，∠BAC=
1∠DAB。 2又∵∠DAB=60°，∴∠BAC=∠BCA=30°。 如图1，连接BD交AC于O。 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA=∴OB=
1AC。 21AB=1。∴OA=3，AC=2OA=23。 2运动ts后，AP=3t，AO=t，∴
APAC=?3。 AQAB又∵∠PAQ=∠CAB，∴△PAQ∽△CAB.∴∠APQ=∠ACB. ∴PQ∥BC.
（2）如图2，⊙P与BC切于点M，连接PM，则PM⊥BC。
在Rt△CPM中，∵∠PCM=30°，∴PM=
13PC=3?t。 22由PM=PQ=AQ=t，即3?3t=t，解得t=43?6， 2此时⊙P与边BC有一个公共点。 如图3，⊙P过点B，此时PQ=PB， ∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°
∴△PQB为等边三角形。∴QB=PQ=AQ=t。∴t=1。 ∴当43?6 第 17 页 共 44 页 ∴当1≤t≤3?3时，⊙P与边BC有一个公共点。 当点P运动到点C，即t=2时，Q、B重合，⊙P过点B， 此时，⊙P与边BC有一个公共点。 综上所述，当t=43?6或1≤t≤3?3或t=2时，⊙P与菱形ABCD 的边BC有1个公共点；当43?6 【考点】直线与圆的位置关系，菱形的性质，含30°角直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，平行的判定，切线的性质，等边三角形的判定和性质。 【分析】（1）连接BD交AC于O，构建直角三角形AOB．利用菱形的对角线互相垂直、对角线平分对角、邻边相等的性质推知△PAQ∽△CAB；然后根据“相似三角形的对应角相等”证得∠APQ=∠ACB；最后根据平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行”可以证得结论。 （2）分⊙P与BC切于点M，⊙P过点B，⊙P过点C和点P运动到点C四各情况讨论即可。 11. （2012江苏南通12分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，点D是BC边的中点．点P从点B出发，以acm/s(a＞0)的速度沿BA匀速向点A运动；点Q同时以1cm/s的速度从点D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为ts． (1)若a＝2，△BPQ∽△BDA，求t的值； (2)设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形． 5 ①若a＝，求PQ的长； 2 ②是否存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明 理由． 第 18 页 共 44 页 【答案】解：（1）△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D是BC的中点，∴BD=CD= ∵a=2，∴BP=2t，DQ=t。∴BQ=BD－QD=6－t。 ∵△BPQ∽△BDA，∴ 1BC=6。 2BPBQt6?t18?，即?，解得：t=。 BDAB61013（2）①过点P作PE⊥BC于E， ∵四边形PQCM为平行四边形， ∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM。 ∴PB：AB=CM：AC。 ∵AB=AC，∴PB=CM。∴PB=PQ。 ∴BE= 11BQ=（6－t）。 22 5 5 ∵a=，∴PB=t。 22 51t(6－t)22∵AD⊥BC，∴PE∥AD。∴PB：AB=BE：BD，即。 ?106解得，t= 3。 2 5 15∴PQ=PB=t=（cm）。 24②不存在．理由如下： ∵四边形PQCM为平行四边形，∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM。 ∴PB：AB=CM：AC。 ∵AB=AC，∴PB=CM，∴PB=PQ。 若点P在∠ACB的平分线上，则∠PCQ=∠PCM， ∵PM∥CQ，∴∠PCQ=∠CPM。∴∠CPM=∠PCM。 ∴PM=CM。∴四边形PQCM是菱形。∴PQ=CQ。 ∴PB=CQ。 ∵PB=at，CQ=BD+QD=6+t，∴PM=CQ=6+t，AP=AB－PB=10－at，且 at=6+t①。 ∵PM∥CQ，∴PM：BC=AP：AB，∴把①代入②得，t=?6?t10?at?，化简得：6at+5t=30②。 12106。 11∴不存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上。 第 19 页 共 44 页 【考点】等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平行的性质，菱形的判定和性质，反证法。 【分析】（1）由△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D是BC的中点，根据等腰三角形三线合一的 性质， 即可求得BD与CD的长，又由a=2，△BPQ∽△BDA，利用相似三角形的对应边成比例，即可 求得t的值。 （2）①首先过点P作PE⊥BC于E，由四边形PQCM为平行四边形，易证得PB=PQ，又由平行 51t(6－t)22线分线段成比例定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。 ?106②用反证法，假设存在点P在∠ACB的平分线上，由四边形PQCM为平行四边形， 可得四边形PQCM是菱形，即可得PB=CQ，PM：BC=AP：PB，及可得方程组，解此方程组求得t值为负，故可得不存在。 12. （2012江苏泰州12分） 如图，已知一次函数y1?kx?b的图象与x轴相交于点A，与 反比例函数y2?c x5，d）两点．点P（m，n）是一次函数y1?kx?b的图象上2的图象相交于B（－1，5）、C（ 的动点． （1）求k、b的值； （2）设?1?m?的面积是 3c，过点P作x轴的平行线与函数y2?的图象相交于点D．试问△PAD2x否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设m?1?a，如果在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，求 实数a的取值 范围． 第 20 页 共 44 页