【答案】解：（1）解方程x﹣2x﹣3=0，得 x1=3，x2=﹣1。
∵m＜n，∴m=﹣1，n=3。∴A（﹣1，﹣1），B（3，﹣3）。 ∵抛物线过原点，设抛物线的解析式为y=ax+bx。
2
2
1?a=???a?b=?1?2。
∴?，解得：??9a?3b=?3?b=1??211∴抛物线的解析式为y=?x2+x。
22（2）①设直线AB的解析式为y=kx+b。
1?k=????k+b=?1?2。
∴?，解得：??3k+b=?3?b=?3?2?13∴直线AB的解析式为y=?x?。
223∴C点坐标为（0，?）。
2∵直线OB过点O（0，0），B（3，﹣3），∴直线OB的解析式为y=﹣x。 ∵△OPC为等腰三角形，∴OC=OP或OP=PC或OC=PC。 设P（x，﹣x）。
（i）当OC=OP时，x2+??x?=∴P1（293232，解得x1=（舍去）。 ，x2=?4443232）。 ，?44?（ii）当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，∴P2（，22343）。 43?93?（iii）当OC=PC时，由x+??x+?=，解得x1=，x2=0（舍去）。
242??第 26 页 共 44 页
?∴P3（，323）。 233333232?）或P3（，?））或P2（，。 ，?442244综上所述，P点坐标为P1（②过点D作DG⊥x轴，垂足为G，交OB于Q，过B作BH⊥x轴，垂足为H．
112211S△BOD=S△ODQ+S△BDQ=DQ?OG+DQ?GH
221=DQ（OG+GH） 21??11??=?x+??x2+x???3 2??22??设Q（x，﹣x），D（x，?x2+x）．
3?3?27=?x??+。 4?2?16∵0＜x＜3，∴当x=时，S取得最大值为
2322733 ?），此时D（，。
1628【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，等腰三角形的性质，二次函数的最值。
【分析】（1）首先解方程得出A，B两点的坐标，从而利用待定系数法求出二次函数解析式即可。
（2）①首先求出AB的直线解析式，以及BO解析式，再利用等腰三角形的性质得出当OC=OP时，当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，当OC=PC时分别求出x的值即可。
②利用S△BOD=S△ODQ+S△BDQ得出关于x的二次函数，从而得出最值即可。
16. （2012四川攀枝花12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A．C．D
均在坐标轴上，且AB=5，sinB=
4． 5（1）求过A．C．D三点的抛物线的解析式；
（2）记直线AB的解析式为y1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y2=ax+bx+c，求当y1＜y2时，自变量x的取值范围；
（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A．E两点之间的一个动点，当P点在何处时，△PAE的面积最大？并求出面积的最大值．
2
第 27 页 共 44 页
【答案】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，且AB=5，∴AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=
在Rt△OCD中，OC=CD?sinD=4，OD=3，∴OA=AD﹣OD=2。 ∴A（﹣2，0）、B（﹣5，4）、C（0，4）、D（3，0）。
设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x﹣3），将C（0，4）代入得： 2×（﹣3）a=4，解得a=﹣∴抛物线的解析式为y=
4。 52。 3222（x+2）（x﹣3）??x2+x+4。 33348（2）由A（﹣2，0）、B（﹣5，4）得直线AB：y1??x?。
3322由（1）得：y2??x2+x+4，则：
3348?y??x??x?5??x1??2?2?33，解得：?，??28。
y?022y2???1??y??x2+x+43??33?由图可知：当y1＜y2时，﹣2＜x＜5。 （3）∵S△PAE等于AE和AE上高乘积的一半，
∴当在抛物线上A．E两点之间，P到直线AB的距离最大时，S△PAE最大。 若设直线L∥AB，则直线L与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P。 设直线L：y??x+b，
当直线L与抛物线有且只有一个交点时，
43422?x+b??x2+x+4，且△=0。 333422由?x+b??x2+x+4化简，得
333第 28 页 共 44 页
2x2?6x+3b?12?0，
?=??6??4?2??3b?12???24b+132=0，
解得，b=
211。 232且4x2?12x+9?0，解得x=。
1137 ）。 。∴点P（，2222811由（2）得：E（5，?），则直线PE：y??x+9。
332749设直线PE与x轴交于点F，则点F（，0），∴AF=OA+OF=。
1111149287343（?）?∴△PAE的最大值：S?PAE?S?PAF?S?AEF???。
211321237343 ）时，△PAE的面积最大，为综上所述，当P（，。 2212∴直线L：y??x+【考点】二次函数综合题，菱形的性质，锐角三角函数定义，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，直线与抛物线的交点，平行线的性质，一元二次方程根的判别式。 【分析】（1）由菱形ABCD的边长和一角的正弦值，可求出OC．OD．OA的长，从而确定A．C．D三点坐标，通过待定系数法可求出抛物线的解析式。
（2）首先由A．B的坐标确定直线AB的解析式，然后求出直线AB与抛物线解析式
的两个交点，然后通过观察图象找出直线y1在抛物线y2图象下方的部分。
（3）该题的关键点是确定点P的位置：P△AE的面积最大，那么AE上的高最大，即点P离直线AE的距离最远，那么点P为与直线AB平行且与抛物线有且仅有的唯一交点。根据一元二次方程根的判别式△=0求解即可。
17. （2012四川广元12分）如图，在矩形ABCO中，AO=3，tan∠ACB=
OC为x
轴，OA为y轴建立平面直角坐标系。设D，E分别是线段AC，OC上的动点，它们同时出发，
点D以每
秒3个单位的速度从点A向点C运动，点E以每秒1个单位的速度从点C向点O运动，设运
动时间为t 秒。
（1）求直线AC的解析式；
434，以O为坐标原点，3第 29 页 共 44 页
（2）用含t的代数式表示点D的坐标； （3）当t为何值时，△ODE为直角三角形？
（4）在什么条件下，以Rt△ODE的三个顶点能确定一条对称轴平行于y轴的抛物线？并
请选择一种
情况，求出所确定抛物线的解析式。
【答案】解：（1）根据题意，得CO=AB=BC?tan∠ACB=4，
∴A（0，3）、B（4，3）、C（4，0）。
设直线AC的解析式为：y=kx+3，代入C点坐标，得：4k+3=0，k=?。 ∴直线AC：y=?x+3。
（2）分别作DF⊥AO，DH⊥CO，垂足分别为F，H，
则有△ADF∽△DCH∽△ACO。
∴AD：DC：AC=AF：DH：AO=FD：HC：OC， 而AD=3t（其中0≤t≤∴FD=AD?34345），OC=AB=4，AC=5， 341239912t，AF=AD?t，DH=3?t，HC=4?t。
555555129∴D（t，3?t）。
55（3）CE= t，E（t，0），OE=OC-CE=4- t，HE=|CH-CE|=(4?12t17t)?t?4?， 559t212t254)?()=9t2?t?9， 5559t17t2742222
)=t?38t?25。 DE=DH+HE=(3?)2?(4?555则OD=DH+OH=(3?2
2
2
当△ODE为直角三角形时，有OD+DE=OE，或OD+OE=DE，或DE+OE=OD， 即(9t2?222222222
5474t?9)?(t2?38t?25)?(4?t)2①， 55第 30 页 共 44 页