概率论与数理统计标准作业纸 班级 学号 姓名
X1X2?101
01140012140
?e?y,0?x?y⒉ 设二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为f(x,y)??
?0,其他（1）求P{X?Y?1}；（2）求联合分布函数F(x,y)。
11?xx?y－1?12解（1）P{X?Y?1}???x?y?1f(x,y)dxdy??20dx?edy?1?e－2e
（2）F(x,y)?????xy???e?x-e?y,0?x?yf(x,y)dydx??
其他?0,⒊ 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为
?Ae?(x?2y),f(x,y)???0,x?0,y?0;其他.
试求（1）常数A ； (2) 概率P(0?X?1,0?Y?2). 解：（1）由于? 故???0?????????f(x,y)?1，
?(x?2y)???0Aedxdy?A210?1，所以A?2
（2）P(0?X?1,0?Y?2)??dx?212e?(x?2y)dy?(1?e)(1?e)
?1?4第十节 二维随机变量的边缘分布
六、选择题
⒈ 设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为P(xi,yj)，则X的边缘概率函数
PX(xi)为 （ A ）
（A）?P(xi,yj) （B）?P(xi,yj) （C） ?P(xi,yj) （D）以上都不对
jii,j第 26 页
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⒉ (X,Y)为二维连续随机变量，对任意的实数x，函数P(X?x,Y???)为 （ B ） （A）随机变量Y的边缘分布函数 （B）随机变量X的边缘分布函数 （C）(X,Y)的联合分布函数 （D）以上都不对
二、填空
⒈ 设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为
F(x,y)?A(B?arctan121x2)(C?arctanx2y3)
则X的边缘分布函数为FX(x)?3??arctan ， Y的边缘概率密度为
fY(y)???y?9?2。
⒉ 设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，则随机变量X的边缘分布函数为
FX(x)?F(x,??)，随机变量Y的边缘分布函数为FY(y)?F(??,y)。
⒊ 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，则随机变量X的边缘概率密度为
fX(x)??????f(x,y)dy，随机变量Y的边缘概率密度为fY(y)??????f(x,y)dx。
三、计算题
?e?y,0?x?y⒈ 设二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为f(x,y)??，求X的边
?0,其他缘概率密度fx(x)。
??x?y?x解 x?0时,fX(x)??edy?e,x?0时，fX(x)?0?e?x，x?0故fX(x)??
0,x?0??2e?(x?2y),x?0,y?02. 已知二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为f(x,y)??
其他.?0,求随机变量X和Y的边缘概率密度。
?e?x，x?0?2e?2y，y?0解 fX(x)??， fY(y)??。
0,x?00,y?0??第 27 页
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第十一节 随机变量的独立性
七、选择题
?2x,0?x?1⒈ 设相互独立的随机变量X和Y的概率密度分别为fX(x)??，
?0,其他?e?y,y?0，则?的二次方程?2?2X??Y?0具有实根的概率是（ A ） fY(y)???0,其他 （A）e?1 （B）e?2 （C） e?3 （D）e?4
二、填空
1. 设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为
F(x,y)?A(B?arctanx2)(C?arctany3)
则随机变量X与Y 独立 （填独立或不独立）。
2. 独立连续随机变量的联合分布函数等于它们的 边缘分布 函数的乘积，独立连续随机变量的联合概率密度等于它们的 边缘概率密度 的乘积，独立离散随机变量的联合概率函数等于它们的 边缘概率函数 的乘积。
三、计算题
1. 已知随机变量X1和X2的概率分布
X1P?114012114X2P01211 2而且P{X1X2?0}?1.问X1和X2是否独立？为什么？ 解：因为P{X1?0,X2?0}?0,P[X1?0}P{X2?0}?14?0,所以X1和X2不独立。
?2e?(x?2y),x?0,y?02. 已知二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为f(x,y)??
其他.?0,随机变量X和Y是否独立？
?e?x，x?0?2e?2y，y?0解 由于 fX(x)??， fY(y)??。
x?0?0,?0,y?0故f(x,y)?fX(x)fY(y)
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所以随机变量X和Y独立。
第三章 随机变量的数字特征
第一节 数学期望
八、选择
1. 掷6颗骰子，令X为6颗骰子的点数之和，则E(X)?（ D ）
（A）42 （B）21/2 （C）7/2 （D） 21
2. 对离散型随机变量X，若有P(X?xk)?pk (k?1,2,3,?)，则当（ B ）时，
??xk?1kpk称为X的数学期望。
（A）?xkpk收敛 （B）?xkpk收敛 （C）?xk?为有界函数 （D）limxkpk?0
k?1k?1k????二、填空
?1?x,?1?x?0,?1. 设随机变量X的概率密度为f(x)??1?x,0?x?1,则E?X?0,其它，??? 0 。
?kx?,0?x?1,2. 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)?? 其中k,??0，又已知
0,其它,?E?X??0.75，则k? 3 ，?? 2 。
三、简答题
1.把4个球随机地放入4个盒子中去，设X表示空盒子的个数，求E?X?。
A4444解： P?X?0??2?664，P?X?1??C4C4A344123?3664164
P?X?2??所以 E?XC4(2?2)466444?36642164，P?X?3??2164?3?164C4443?
??0??1??2??8164
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?12y2,0?y?x?1,2.设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)??，求E?X?,E?Y?。
其它，?0,解：E?X????0?y?x?1xf(x,y)dxdy??10xdx?12ydy?0x245，同理E?Y??35。
第二节 随机变量函数的数学期望
一、填空
1. 设随机变量X服从参数为1的指数分布，则数学期望E?X?e?2X??2. 设随机变量X服从二项分布B(3,0.4)，则E?X24/3 。
?? 2.16 。
二、简答题
1.设随机变量X和Y相互独立，概率密度分别为 ?e?x,x?0,?e?y,y?0,fX(x)?? fY(y)??
?0,x?0,?0,y?0,求随机变量函数Z?X?Y的数学期望。
?e?x?y,x?0,y?0,解：因为X和Y相互独立，所以f(x,y)?fX(x)fY(y)??
其它,?0,E?Z??E?X?Y??????0?y???0(x?y)e?x?ydxdy
?????0xedx??x??0edy????0edx??x0yedy
?y?1?1?2。
2.按季节出售某种应时商品，每售出1 kg获利润6元,如到季末尚有剩余商品，则每kg净亏损2元，设某商店在季节内这种商品的销售量X（以kg计）是一随机变量，X在区间
?8,16?内服从均匀分布，为使商店所获得利润最大，问商品应进多少货？
解： 设t表示进货量，易知应取8?t?16，进货t所得利润记为Wt(X)，且有 ?6X?2(t?X),8?X?t,(有积压)Wt(X)??
6t,，t?X?16,(无积压)?利润Wt(X)是随机变量，如何获得最大利润？自然取“平均利润”的最大值，即求t使
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