概率论与数理统计标准作业纸 班级 学号 姓名
1.已知连续型随机变量则X的数学期望为X的概率密度函数为f(x)?1?e?x?2x?12，
____1___;X的方差为___2___2.设X,Y是两个相互独立且服从则随机变量X?Y的数学期望正态分布N(0,(12))的随机变量，2EX?Y?___2?___.
三、计算题
1.已知连续型随机变量???x???(2)若已知(1)c??X的概率密度函数为求EX，DX;p(x)?16?e?x?4x?462，
?p(x)dx????cp(x)dx，求常数c.x?4x?462解(1)由于P(x)?16?e??12?3e?(x?2)2?32所以，X~N(2,3),从而，知(2)E(X)?2,D(X)?3e?(x?2)2?32?c??P(x)dx??c??12?12?3e3?dxt?x?23c?2?13??12??t2e?t22dt??(c?23))
???cP(x)dx????c(x?2)2?32dxt?c?23x?23???c?232?e2dt?1??(c?23c?23所以，得所以，c?2.?(c?23)?1??()从而，知?()?1c?2，?023第三节 二维正态分布
一、计算题
1.已知矢径OP的终点的坐标为(X,Y)服从二维正态分布
f(x,y)?12?e?x?y222
求矢径OP的长度Z?OP的概率密度 解 Z?OP?X2?Y2
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FZ(z)?P(Z?z)?P(X2?Y2?z)
当z?0时，显然有FZ(z)?0；当z?0时
FZ(z)?12?2
??x?y?z2e?x?y222dxdy
?12??2?0d??z0re?r22dr?1?e?z22.
所以，Z的分布函数为
z???1?e2,z?0; FZ(z)??
?z?0.?0,2对z求导数，即得Z的概率密度
??z?2,z?0; fZ(z)??ze?z?0.?0,2第四节 正态随机变量的线性函数的分布
一、选择
1.设X，Y是相互独立的随机变量，且X~N(?1,?1),Y~N(?2,?2)，则下列
结论正确的是（B）
22(AX?Y~N(?1??2,(?1??2)2) (B)X?Y~N(?1??2,?1??2) (C)X?Y~N(?1??2,(?1??2)2) (D)X?Y~N(?1??2,?1??2)
2.设随机变量X与Y均服从正态分布,X~N(?,4),Y~N(?,5);则(A)
222222记p1?P?X???4?,p2?P?Y???5?,(A)对任何实数?,都有p1?p2(B)对任何实数(D)对任何实数?,都有p1?p2?,都有p1?p2(C)只对?的个别值,才有p1?p2二、填空
21.设随机变量X与Y独立，且X~N(0,1),Y~N(1,2)，则Z?2X?Y?3的
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概率密度为fz(z)?14?e?(z?2)162,???z???
2.设随机变量X与Y独立，且X~N(0,1),Y~N(1,1)，则P(X?Y?1)= 0.5
3.已知随机变量P{X?Y?1}?1X与Y相互独立且都服从正态,则?＝___1___.221分布N(?,).如果2
第五节 中心极限定理
一、填空
1.设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计P{X?E(X)?2}?___12____
二、计算题
1.已知一本书有500页，每一页的印刷错误的个数服从泊松分布P(0.2).各页有没有错误是相互独立的，求这本书的错误个数多于88个的概率.(?(1.2)?0.8849) 解：设Xi表示第i页上的错误个数，(i?1,2,?，500) 则Xi~P(0.2)，因此E(Xi)?0.2,D(Xi)?0.2(i?1,2,?，500)
设X表示这本书上的错误总数，由列维中心极限定理知
500X??i?1Xi~N(100,100)
因此P?X?88??1?P?X?88??1?P???X?100100??12????(1.2)?0.8849 10?2.某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数. 求被盗索赔户不小于14户且不多于30户的概率近似值. ( 利用棣莫弗--拉普拉斯定理近似计算.
?(2.5)?0.994,?(1.5)?0.933 )
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解: X~B（100, ， 因为 n?100 较大, 0.2） 所以X近似服从正态分布. np?20 , npq?16 . (q?1?p) P（14?X?30）??(30?204)??（14?204 ） ??(2.5)??（?1.5)
?0.994?(1?0.933)?0.927
3.某品牌家电三年内发生故障的概率为0.2,且各家电质量相互独立.某代理商发售了一批此品牌家电,三年到期时进行跟踪调查：
（1）抽查了四个家电用户,求至多只有一台家电发生故障的概率； （2）抽查了100个家电用户,求发生故障的家电数不小于25的概率
( (2)利用棣莫弗---拉普拉斯定理近似计算. ?(1.25)?0.8944 )
解:设X表示发生故障的家电数,则 (1) X~B（4, 0.2） P（X?1）=P（X?0）+P（X?1）
=0.8+C4?0.2?0.8?0.8192 (2) X~B（100, ， 因为 n?100 较大, 0.2）413 所以X近似服从正态分布. np?20 , npq?16 . (q?1?p) P（X?25）?1?P(X?25)?1??（ ?1??（1.25)
?1?0.8944?0.1056
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25?204）
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第五章 数理统计的基本知识
二、选择
1. 设X1,X2,?,Xn独立且服从同一分布N(?,?2)，X是样本均值，记
SS21????Xn?1i?11ni?X2?2，
S22?1??Xni?1ni?X?2，
S23???Xn?1i?11ni???2，
241??Xni?1ni???，则下列服从t(n?1) 的是 ( A ).
X??S2n（A）t?X??S1n （B）t? （C）t?X??S3n （D）t?X??S4n
2. 设总体X~N(?,?2), 则统计量?2?1?22?(Xi?X)~（B） i?1n
(A) ?2(n) (B) ?2(n?1) (C) t(n?1) (D) t(n)
3.设总体X~N(2,42),X1,X2,?,Xn为取自总体X的一个样本,则下面结果正确的是
（ D ）
X?24X?22X?216 (A)~N(0,1) (B)~N(0,1)
(C)~N(0,1) (D)
X?24n~N(0,1)
二、填空
1. 已知某总体X的样本值为99.3，98.7，100.05，101.2，98.3，99.7，99.5，102.1，
100.5，则样本均值X= 99.93 ，样本方差S= 1.43 . 2. 设总体X~N(?,4),X1,X2,?,X20为取自总体X的一个容量为20的样本,则概率
2022P[46.8??(Xi?1i?X)?154.4]= 0.895 . 23.从总体N(63,49)中抽取容量为16的样本,则P[X?60]= 0.0436 .
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