概率论与数理统计标准作业纸 班级 学号 姓名
三、计算
1. 设总体X~N(1,0.22),X1,X2,?,Xn为取自总体X的一个样本,要使样本均值X满足不等式P[0.9?X?1.1]?0.95，则样本均值n最少应取多少？ 解 由题意知 X～N(1,0.04n)
故 P[0.?9?X1=.?1](1.1-10.2n)??(0.9-10.2n)
=2?(0.5n)?1?0.95
即 ?(0.5n?) ，0.5n?1.96 ，n?15.3664 0.975因此样本容量n最少应取为16.
2. 设总体X~N(?,?2),X1,X2,?,X16为取自总体X的一个容量为16的样本,样本均方差S=2.309,求概率P[X??〈0.4] . 解 由题意知 t?X??Sn～t(n?1)
n?15 t?X??Sn～t(15)
P[X??〈0.4] = P[X??0.4〈0.692] 〈] = P[tSSnn= 1-2P[t?0.692]= 1-2?0.25 =0.5
第六章 参数估计
第一节 参数的点估计
三、选择
1. 以样本的矩作为相应（同类、同阶）总体矩的估计方法称为（A）.
第 41 页
概率论与数理统计标准作业纸 班级 学号 姓名
(A) 矩估计法 (B) 一阶原点矩法 (C) 贝叶斯法 (D) 最大似然法 2. 总体均值E(X)的矩估计值是（A）.
（A）x （B）X （C）x1 （D）X1
二、填空
1.设总体X服从泊松分布P(?)，其中??0为未知参数.如果取得样本观测值为
x1,x2,?,xn，则参数?的最大似然估计值为x.
2.设总体X在区间?0,??上服从均匀分布，其中??0为未知参数.如果取得样本观测值为
x1,x2,?,xn，则参数?的矩估计值为2x.
三、简答题
1. 设设总体X的概率密度为
??e??x,x?0f(x)???0, x?0，求参数?的矩估计值.
11解 ：EX??????0?xe??xdx,设u??x,x?1??u?ue????u,dx???0?du
1?= ??则EX??0ue?u(1?du)?1x??0???u???1edu??0?(?e)??????0故??
1EX，所以???
2. 设总体X服从几何分布
p(x;p)?p(1?p)x?1,x?1,2,3,?.如果取得样本观测值为x1,x2,?,xn，求参数p的矩
估计值与最大似然估计值. 解：由已知可得
第 42 页
概率论与数理统计标准作业纸 班级 学号 姓名
v1(X)?E(X)?1p，所以
1p?1n1xn?xi?1i?x
??由此可得参数的矩估计值为pn.
n似然函数为L(p)??(p(1?i?1p)xi?1)?p(1?p)i?1n?xi?n
n取对数，得lnL(p)?nlnp?(?xi?n)ln(1?p).于是，得
i?1dlnL(p)dp?np?11?pn??(?xi?n)?0.由此可得参数的最大似然估计值为pi?11x.
3. 设总体X服从“0-1”分布：
p(x;p)?px(1?p)x?1,x?0,1.如果取得样本观测值为x1,x2,?,xn(xi?0或1)，求参数p的矩估计值与最大似然估计值. 解：由已知可得
v1(X)?E(X)?p，所以p?1nix?ni?1?x
??x. 由此可得参数的矩估计值为pnnn似然函数为L(p)??(pi?1xi(1?p)1?xi)?pn?i?1xin?(1?p)?xii?1
n取对数，得lnL(p)?(?xi)lnp?(n?i?1?xi?1i)ln(1?p).于是，得
dlnL(p)dp?1nix?pi?1?11?pn(n??xi?1i??x. )?0.由此可得参数的最大似然估计值为p
第二节 衡量点估计好坏的标准
四、选择
1. 估计量的无偏性是指 （ B ）.
（A）统计量的值恰好等于待估总体参数
第 43 页
概率论与数理统计标准作业纸 班级 学号 姓名
(B) 所有可能样本估计值的数学期望等于待估总体参数 (C) 样本估计值围绕待估总体参数使其误差最小
(D) 样本量扩大到和总体单元相等时与总体参数一致 2. 估计量的有效性是指 （ C ）.
（A）估计量的数学期望等于被估计的总体参数 (B) 估计量的具体数值等于被估计的总体参数 (C) 估计量的方差比其它估计量的方差小 (D) 估计量的方差比其它估计量的方差大 3. 估计量的一致性是指 （ D ）.
(A) 估计量的具体数值等于被估计的总体参数 (B) 估计量的方差比其它估计量的方差小 (C) 估计量的方差比其它估计量的方差大
(D) 随样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数
二、填空
1.设??1???1(X1,X2,?Xn)与??2???2(X1,X2,?Xn)都是参数?的无偏估计量，如果
D(??1)?D(??2)，则称??1比??2有效.
2. 设总体X的均值E(X)??，方差D(X)??2，则x是总体均值的无偏的、有效的、一致的估计量，S2是总体方差的无偏的、有效的、一致的估计量.
三、简答题
1.从总体
X12X23X中抽取样本X1,X2,X3，证明下列三个统计量X36?2??X12X24X34?3?,?X13X23X33?1????,????,都是总体均值的
无偏估计量；并确定哪个估计更有效.
证：设总体X的均值与方差分别为E(X)??，D(X)??.则因为样本与总体服从相同的
分
布
，X12X122所X23X22以X36X34有
1E(Xi)??，1614D(Xi)??,i?1,2,3.2所以有
?1)?E(E(???)?212??1312?????;?2)?E(E(???)????????;
第 44 页
概率论与数理统计标准作业纸 班级 学号 姓名
?3)?E(E(?X13?X23?X33)?13??13??13???.
所以?1，?2，?3都是总体均值的无偏估计量.
X12X12X13X23X24X23X36X34X331414192?1)?D(D(???)???19?2?136?2?71838?;
2?2)?D(D(???)??2?11619?2?116?2??;
2?3)?D(D(???)??2??2?19?2?13?;
2?3)?D(??2)?D(??1),所以认为估计量??3更有效. 因为D(?2.设??1和??2为参数?的两个独立的无偏估计量，且假定D??1?2D??2，求常数c和d，使???c??1?d??2为?的无偏估计，并使方差D??最小.
解： 由于E???E(c??1?d??2)?cE??1?dE??2?(c?d)?,且知E????，故得c+d=1。 又由于
222222D???D(c??1?d??2)?cD??1?dD??2?2cD??2?dD??2?(2c?d)D??2
并使其最小，即使f?2c?d，满足条件c+d=1的最小值。
'22令d=1-c，代入得f?2c?(1?c)，fc?4c?2(1?c)?0, 6c?2?0
22解得c?13,d?1?c?23。
第三节 正态总体参数的区间估计
五、选择
1. 若总体X~N(?,?)，其中?已知，当样本容量n保持不变时，如果置信度1??变小，则?的置信区间（ B ）.
第 45 页
22