概率论与数理统计标准作业纸 班级 学号 姓名
?1?,0?x?16,得E?Wt(X)?最大。X的概率密度为f(x,y)??8
?0,其它，?E?Wt(X)???????Wt(x)f(x)dx?1?8168Wt(x)dx
?1
?8t8?6x?2(t?x)?dx?t21?816t6tdx
?14t?2?32令
d?Wt(X)?dt2?14?t?0, 得 t?14。
而
dE?Wt(X)?dt2??1?0,
故知当t?14时，E?Wt(X)?取得极大值，且可知这也是最大值。 所以，进货14kg时平均利润最大。
第三节 关于数学期望的定理
一、填空
1. 已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布P(X?xk)?则随机变量Z?3X?2的数学期望E?Z?? 4 。 2. 设X服从泊松分布，已知E?(X?1)(X?2)??1，则E?X2ek?2k!,k?0,1,2,?,
?? 1 。
3.设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，，每次射中目标的概率为0.4，则X2的数学期望E?X2?? 18.4 。
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二、简答题
1. 设(X,Y)在A上服从均匀分布，其中A为x轴，y轴及直线x?y?1?0所围成的区域，求E??3X?2Y?。 解：因为A的面积为
12，所以(X,Y)的概率密度为
?2,?1?x?0,?1?y?0,f(x,y)??
0,其它，?E?X??E?Y??????????????xf(x,y)dxdy??0?12xdx?dy??1
?10????????yf(x,y)dxdy??1
E??3X?2Y???3E?X??2E?Y??1
2.一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以X表示停车的次数，求E?X?。（设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设旅客是否下车相互独立）
解： 引入随机变量
?0,在第i站没有人下车， Xi?? ，i=1,2,?,10.
1,在第i站有人下车，?易知X?X1?X2???X10，现在来求E?X?。
?9??9?按照题意，P?Xi?0???? P?Xi?1??1???
?10??10?2020所以E?Xi??9??1????10?20,i?1,2,?,10
20??9???10?1?????8.784
10??????进而 E?X??E?X1?X2???X10?
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第四节 方差与标准差
九、选择
1. 对于任意两个随机变量X和Y，若E(XY)?E(X)E(Y)，则（ B ）
（A）D(XY)?D(X)D(Y) （B）D(X?Y)?D(X)?D(Y) （C）X和Y独立 （D）X和Y不独立
2. 设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别是4和2，则随机变量3X?2Y的方差是（ D ） 。
（A）8 （B）16 （C）28 （D）44
3. 设随机变量?和?相互独立,又X?2??5，Y?3??8，则下列结论不正确的是（ B ）
（A）D(X?Y)?4D(?)?9D(?) （B）D(X?Y)?4D(?)?9D(?) （C）E(X?Y)?E(X)?E(Y) （D）E(XY)?E(X)E(Y)
二、填空
X?0,?1,?X?0, 则方差1. 设随机变量X在区间??1,2?上服从均匀分布，随机变量Y??0,??1,X?0，?D?Y??8/9 。
2. 设X是一随机变量, E(X)?1，E?X(X?1)??4， 则D(X)? 4 。 三、简答题
?15xy2,0?y?x?1,1. 设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)??，求D?X?。
其它，?0,解：E?XE?X2????????????xf(x,y)dxdy?2?1015xdx?ydy?0103x22x256，
57??????????????2xf(x,y)dxdy??15xdx?ydy?0，
D?XE?X????E?X???2?57?2536?5252。
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第五节 某些常用分布的数学期望与方差
十、选择
1. 设X服从 （ C ）分布，则E(X)?D(X)。
（A） 正态 （B） 指数 （C）泊松 （D）二项
2. 已知X服从二项分布，且E(X)?2.4，D(X)?1.44，则二项分布的参数为（ B ）
（A）n?4,p?0.6 （B）n?6,p?0.4
（C）n?8,p?0.3 （D）n?24,p?0.1 二、填空
1. 已知随机变量X在?0,2?上服从均匀分布，则 E?X2??
4/3 .
2. 设P?X?1??P?X?2?，且X服从参数为?的泊松分布，则E(X)? 2
D(X)? 2 。
三、简答题
1. 设二维随机变量(X,Y)在区域R:0?x?1,y?x内服从均匀分布，试求 （1）X的边缘概率密度；
（2）随机变量函数Z?2X?1的方差D?Z?。 解：因为区域R的面积为
?0x?y1?,x?1,? f(x,y?)???0,其它，,1，所以(XY,的联合概率密度为)（1）当x?0或x?1时，fX(x)?0，当0?x?1时，fX(x)??2x,0?x?1,所以X的边缘概率密度为fX(x)??
?0,其它。?x?xdx?2x，
（2）E?X???0x2xdx1?23，E?X2???10x2xdx?212
D?Z??D?2X?1??4D?X?222?? ?4?E(X)?(E(X))??9第 34 页
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第四章 正态分布
第一节 正态分布的概率密度与分布函数
十一、选择
1. 设X~N(?,?2),那么当?增大时，则P(X????)（ C） (A) 增大 (B) 减少 (C) 不变 (D) 增减不定 2. 随机变量X~N(?,1),且P{X?2}?P{X?2},则??（ B ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
二、填空
1. 设随机变量X~N(100,?2),且P(X?103)?0.3085,
则P(97?X?103)? 0.383 2.设随机变量X~N(50,?2),且P(47?X?53)?0.6826,
则P(X?53)? 0.1587
三、计算题
1. 某地区的月降水量X（单位：mm）服从正态分布N(40,42),试求该地区连续10个月降水量都不超过50mm的概率. 解：设A＝“某月降水量不超过P（A）＝P（x?50)?P（观察10个月该地区降水量是否设Y＝“该地区降水量不超P（Y＝10）＝0.99381050mm”4?50?404)??(2.5)?0.9938x?40超过50mm，相当做10天贝努利试验过50mm的月数”，则
Y～B（10，0.9938）＝0.9396第二节 正态分布的数字特征
一、选择
1. 设随机变量X与Y独立，X~B(10,0.2),Y~B(10,0.4)，则E(2X?Y)?（ D ） (A) 6 (B) 4 (C) 10 (D) 8
二、填空
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