【母题来源一】2017四川省乐山市 第26题
【母题原题】如图1，抛物线C1：y?x2?ax与C2：y??x2?bx相交于点O、C，C1与C2分别交x轴于点B、A，且B为线段AO的中点． （1）求
a的值； b（2）若OC⊥AC，求△OAC的面积；
（3）抛物线C2的对称轴为l，顶点为M，在（2）的条件下：
①点P为抛物线C2对称轴l上一动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
②如图2，点E在抛物线C2上点O与点M之间运动，四边形OBCE的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值和点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
a1217323235??；3；（2）（3）①P（，）；②E（，），S最大?． b23342432【分析】（1）由两抛物线解析式可分别用a和b表示出A、B两点的坐标，利用B为OA的中点可得到a和b之间的关系式；
（2）由抛物线解析式可先求得C点坐标，过C作CD⊥x轴于点D，可证得△OCD∽△CAD，由相似三角形的性质可得到关于a的方程，可求得OA和CD的长，可求得△OAC的面积；
（3）①连接OC与l的交点即为满足条件的点P，可求得OC的解析式，则可求得P点坐标；
②设出E点坐标，则可表示出△EOB的面积，过点E作x轴的平行线交直线BC于点N，可先求得BC的解
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析式，则可表示出EN的长，进一步可表示出△EBC的面积，则可表示出四边形OBCE的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值，及E点的坐标．
（3）①抛物线C2:y??x?24323∴其对称轴l2:x?，点A关于l2的对称点为O（0，0），C（3 ，x，3333，∴OC的解析式为y?x，
331），则P为直线OC与l2的交点，设OC的解析式为y=kx，∴1=3k，得k=当x?223232时，y?，∴P（，）；
33332②设E（m，?m?123433244323）（0?m?），则S?OBE???(?m2?)??m?m，而B
2333333?1?3k?b23?（，0），C（3 ，1），设直线BC的解析式为y=kx+b，由?，解得：k=3 ，b=-2，230?k?b3?3?∴直线BC的解析式为y?3x?2，过点E作x轴的平行线交直线BC于点N，如图2，则
?m2?4332423m?3x?2，即x=?m?m? 3333
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考点：二次函数综合题；最值问题；二次函数的最值；动点型；存在型；压轴题．
【名师点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、轴对称的性质、三角形的面积、二次函数的性质及方程思想等知识．在（1）中分别表示出A、B的坐标是解题的关键，在（2）中求得C点坐标，利用相似三角形的性质求得a的值是解题的关键，在（3）①中确定出P点的位置是解题的关键，在（3）②中用E点坐标分别表示出△OBE和△EBC的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量较大，难度较大．学科*网 【母题来源二】2017四川省内江市 第28题
【母题原题】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y?ax?bx?c（a≠0）与y轴交与点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1． （1）求抛物线的解析式；
（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△
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MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；
（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y??（3）t=
3239299x?x?3；（2）S=?t?t，运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是；84105102430或t=． 1719【分析】（1）把点A、B、C的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b、c的解析式，通过解方程组求得它们的值；
（2）设运动时间为t秒．利用三角形的面积公式列出S△MBN与t的函数关系式．利用二次函数的图象性质进行解答；
（3）根据余弦函数，可得关于t的方程，解方程，可得答案．
（2）设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t，∴MB=6﹣3t．由题意得，点C的坐标为（0，3）．在Rt△BOC
HNBN?，OCBCHNt31139999?，∴HN=t，∴S△MBN=MB?HN=（6﹣3t）?t，即S=?t2?t =?(t?1)2?，即35551051010229当△PBQ存在时，0＜t＜2，∴当t=1时，S△PBQ最大=．
10中，BC=32?42=5．如图1，过点N作NH⊥AB于点H，∴NH∥CO，∴△BHN∽△BOC，∴
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答：运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是
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考点：二次函数综合题；最值问题；二次函数的最值；动点型；存在型；分类讨论；压轴题．
【名师点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围． 【母题来源三】2017四川省成都市 第28题
【母题原题】如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y?ax?bx?c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=42，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′．
（1）求抛物线C的函数表达式；
（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．
（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
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