【答案】（1）y??12x?4；（2）2＜m＜22；（3）m=6或m=17﹣3． 2【分析】（1）由题意抛物线的顶点C（0，4），A（22，0），设抛物线的解析式为y?ax2?4，把A（22，0）代入可得a=?1，由此即可解决问题； 21(x?m)2?4，由2（2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物线C′的解析式为y?12?y??x?4??222，消去y得到x?2mx?2m?8?0，由题意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧??y?1(x?m)2?4??2?(2m)2?4(2m2?8)?0?有两个不同的公共点，则有?2m?0，解不等式组即可解决问题；
?2m2?8?0?（3）情形1，四边形PMP′N能成为正方形．作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，推出PF=FM，∠PFM=90°，易证△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，可得M（m+2，m﹣2），理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），利用待定系数法即可解决问题．
（2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物线C′的解析式为y?1(x?m)2?4，由2
6
（3）结论：四边形PMP′N能成为正方形．
理由：1情形1，如图，作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．
由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，∴PF=FM，∠PFM=90°，易证△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，∴M（m+2，m﹣2），∵点M在y??∴m?2??是正方形．
情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），把M（m﹣2，2﹣m）代入y??中，2?m??12x?4上，21(m?2)2?4，解得m=17﹣3或﹣17﹣3（舍弃），∴m=17﹣3时，四边形PMP′N212x?421(m?2)2?4，解得m=6或0（舍弃），∴m=6时，四边形PMP′N是正方形． 2
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综上所述：m=6或m=17﹣3时，四边形PMP′N是正方形． 考点：二次函数综合题；旋转的性质；探究型；分类讨论；压轴题．
【名师点睛】本题考查二次函数综合题、中心对称变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
【命题意图】这类试题主要考查二次函数的综合运用．
【方法、技巧、规律】熟练掌握二次函数的基本性质，善于把复杂问题分解为多个简单问题．二次函数综合运用涉及知识点比较多，计算较为复杂，做题时，需要计算准确，思维清晰．
【母题 1】如图，二次函数y?ax?bx?c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：
①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax?bx?c?0（a≠0）有一个根为?其中正确的结论个数有（ ）
221 a
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C．
考点：二次函数综合题．
【母题 2】如图，抛物线C1：y??3x2?23x的顶点为A，与x轴的正半轴交于点B．
（1）将抛物线C1上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，求变换后得到的抛物线的解析式； （2）将抛物线C1上的点（x，y）变为（kx，ky）（|k|＞1），变换后得到的抛物线记作C2，抛物线C2的顶点为C，点P在抛物线C2上，满足S△PAC=S△ABC，且∠APC=90°． ①当k＞1时，求k的值；
②当k＜﹣1时，请直接写出k的值，不必说明理由．
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【答案】（1）y??9932（2）①k=；②k=?． x?23x；
222
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