考点：二次函数综合题；动点型；存在型；探究型；压轴题．学科*网 【母题 8】如图，已知点A的坐标为（﹣2，0），直线y??3x?3与x轴、y轴分别交于点B和点C，连4接AC，顶点为D的抛物线y?ax2?bx?c过A、B、C三点． （1）请直接写出B、C两点的坐标，抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P是第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F，若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标；
（3）设点M是线段BC上的一动点，过点M作MN∥AB，交AC于点N，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA向点A运动，运动时间为t（秒），当t（秒）为何值时，存在△QMN为等腰直角三角形？
【答案】（1）B（4，0），C（0，3），y??t=
3232715x?x?3，D（1，）；（2）P（3，）；（3）84888147或或． 332
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（3）由题意可知：0≤t≤6，设直线AC的解析式为：y=m1x+n1，把A（﹣2，0）和C（0，3）代入y=m1x+n1，
3??0??2m1?n1m?3?得：?，∴解得：?12，∴直线AC的解析式为：y?x?3，由题意知：QB=t．
2?3?n1?n?3?1333x?3，∴y?t，∴M（4﹣t，t），444333113∵MN∥x轴，∴N的纵坐标为t，把y=t代入y?x?3，∴x=t﹣2，∴N（t﹣2，t），∴MN=
244224①如图1，当∠NMQ=90°，∴OQ=4﹣t，令x=4﹣t代入y??（4﹣t）﹣（∴6﹣
13t﹣2）=6﹣t，∵MQ∥OC，∴△BQM∽△BOC，∴22，∴MQ=
3t，当MN=MQ时，43388t=t，∴t=，此时QB=，符合题意；
3324②如图2，当∠QNM=90°时，∵QB=t，∴点Q的坐标为（4﹣t，0）
3333x?3，∴y=9﹣t，∴N（4﹣t，9﹣t），∵MN∥x轴，∴点M的纵坐标为9﹣t，2222333∴令y=9﹣t代入y??x?3，∴x=2t﹣8，∴M（2t﹣8，9﹣t），∴MN=（2t﹣8）﹣（4﹣t）=3t﹣12，
422NQAQ3314?∵NQ∥OC，∴△AQN∽△AOC，∴，∴NQ=9﹣t，当NQ=MN时，∴9﹣t=3t﹣12，t=，OCOA22314∴此时QB=，符合题意；
3∴令x=4﹣t代入y?
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综上所述，当△QMN为等腰直角三角形时，此时t=
8147或或． 332
考点：二次函数综合题；动点型；存在型；分类讨论；压轴题．
【母题 9】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，抛物线C1：
1y??x2?bx?c过A、B两点，与x轴另一交点为C．
4（1）求抛物线解析式及C点坐标．
（2）向右平移抛物线C1，使平移后的抛物线C2恰好经过△ABC的外心，抛物线C1、C2相交于点D，求四边形AOCD的面积．
（3）已知抛物线C2的顶点为M，设P为抛物线C1对称轴上一点，Q为抛物线C1上一点，是否存在以点M、Q、P、B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出P点坐标；不存在，请说明理由．
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【答案】（1）y??﹣25）．
12311925x?x?4，C（8，0）；（2）；（3）存在．P（3，0）或（3，?）或（3，4242（2）如图1，连接AC，由（1）知，C（8，0），A（0，4），B（﹣2，0），∴AC?AO?OC=80，
222AB2?AO2?OB2=20，BC2?102=100，∴BC2?AC2?AB2，∴△ABC是直角三角形．
设△ABC的斜边BC的中点为E，则CE=
1×（8+2）=5，∴OE=CO﹣CE=3，∴△ABC的斜边BC的中点E211239（x﹣3）（x﹣13），即y??x?4x?，联立方程组
444的坐标为（3，0），∵抛物线C2恰好经过△ABC的外心，E为△ABC的外心，∴OF=3+10=13，即F（13，0），由E（3，0），F（13，0），得抛物线C2：y=?11123??x?y??x?x?4??1175??242，解得：，即D（，），如图2，连接AD，OD，CD，则 ??75139216?y??x2?4x??y???16?44?S四边形AOCD=S△AOD+S△OCD=
111175119119×4×+×8×=，∴四边形AOCD的面积为；
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（3）存在．点P的坐标为（3，0）或（3，?分3种情况：
①如图，当四边形BPMQ为平行四边形时，BP∥QM，BP=QM，∵抛物线C1中，Q（3，中，M（8，（3，0）；
25）或（3，﹣25）． 225），抛物线C2425），∴由平移方向可得QM∥x轴，QM=5=BE，∴BP与x轴重合，∴点P与点E重合，即P4
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