考点：二次函数综合题；探究型；压轴题．学科*网
【母题 3】如图，抛物线y?ax?bx?c的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D． （1）求此抛物线的解析式．
（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴．
（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．
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【答案】（1）y?x2?2x?3；（2）D的坐标是（1，﹣4），对称轴是直线x=1；（3）P（1，?． ?4?25）或（1，?4?25）或（1，4）
3）或（1，2（3）存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形，设点P的坐标为（1，y），分三种情况讨论：
2222①当PA=PD时(?1?1)?(0?y)=(1?1)?(?4?y)，解得，y=?33，即点P的坐标为（1，?）； 222222②当DA=DP时，(?1?1)?[0?(?4)]=(1?1)?(?4?y)，解得，y=?4?25，即点P的坐标为（1，
； ?4?25）或（1，?4?25）
2222③当AD=AP时，(?1?1)?[0?(?4)]=(?1?1)?(0?y)，解得，y=±4，即点P的坐标是（1，4）
或（1，﹣4），当点P为（1，﹣4）时与点D重合，故不符合题意．
由上可得，以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（1，?或（1，?4?25）或（1，4）．
考点：二次函数综合题；存在型；分类讨论；综合题． 【母题 4】如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，?3）或（1，?4?25）25）三点． 212
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y?125x?2x?；（2）；（3）． 22（3）存在．如图2所示．
①当点N在x轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，?55），∴N1（4，?）； 22②当点N在x轴上方时，如图，过点N2作N2D⊥x轴于点D，在△AN2D与△M2CO中，∵∠N2AD=∠CM2O，
55，即N2点的纵坐标为，∴22125555x?2x?=，解得x=2?14或x2?14，∴N2（2?14，），N3（2?14，）． 222225554，）或（2?14，）综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，?），（2?1．
222AN2=CM2，∠AN2D=∠M2CO，∴△AN2D≌△M2CO（ASA），∴N2D=OC=
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考点：二次函数综合题；轴对称-最短路线问题；最值问题；存在型；分类讨论；压轴题．
【母题 5】如图，直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y?ax?4x?c的图象交x轴于另一点B． （1）求二次函数的表达式；
（2）连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值；
（3）若点H为二次函数y?ax?4x?c图象的顶点，点M（4，m）是该二次函数图象上一点，在x轴、y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标．
温馨提示：在直角坐标系中，若点P，Q的坐标分别为P（x1，y1），Q（x2，y2），当PQ平行x轴时，线段PQ的长度可由公式PQ=|x1﹣x2|求出；当PQ平行y轴时，线段PQ的长度可由公式PQ=|y1﹣y2|求出．
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【答案】（1）y??x?4x?5；（2）
2251313；（3）F（，0），E（0，）． 473（2）如图1，∵点B是二次函数的图象与x轴的交点，∴由二次函数的表达式为y??x?4x?5得，点B
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的坐标B（5，0），设直线BC解析式为y=kx+b，∵直线BC过点B（5，0），C（0，5），∴??5k?b?0，解
?b?5得：??k??1，∴直线BC解析式为y=﹣x+5，设ND的长为d，N点的横坐标为n，则N点的纵坐标为﹣n+5，
?b?5222D点的坐标为D（n，?n?4n?5），则d=|?n?4n?5﹣（﹣n+5）|，由题意可知：?n?4n?5＞﹣
22n+5，∴d=?n?4n?5﹣（﹣n+5）=?n?5n=?(n?)?52225525，∴当n=时，线段ND长度的最大值是； 424
考点：二次函数综合题；二次函数的最值；最值问题；综合题．
25﹒（2016贵州省铜仁市）如图，抛物线y?ax?bx?1（a≠0）经过A（-1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点P在抛物线的对称轴上，当△ACP的周长最小时，求出点P的坐标；
（3） 点N在抛物线上，点M在抛物线的对称轴上，是否存在以点N为直角顶点的Rt△DNM与Rt△BOC相似，若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
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