考点：二次函数综合题；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的判定与性质；平移的性质；分类讨论；存在型；压轴题．
【母题 10】已知抛物线y=a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y??3x?b与抛物线的另一个交点为D． （1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；
（2）若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标； （3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒23个单位的速度运动到点D后停止，问3当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？
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【答案】（1）y??3x2?23x?33；（2）P（﹣4，?15）和（﹣6，?37）；（3）E（1，?43）． 3（2）作PH⊥x轴于H，设点P的坐标为（m，n）．
①当△BPA∽△ABC时，∠BAC=∠PBA，∴tan∠BAC=tan∠PBA，即
OCPH?3a?n??，∴，即n=OAHB3?m?1﹣a（m﹣1），∴??n??a(m?1)，解得，m=﹣4，m=1（不合题意，舍去），当m=﹣4时，n=5a，
?n?(m?3)(m?1)ACAB152?，即AB=AC?PB，∴42?9a2?9?25a2?25，解得，a1=（不ABPB15∵△BPA∽△ABC，∴
合题意，舍去），a2=?151515，则n=5a=?，∴点P的坐标为（﹣4，?）； 1533OCPH?3a?n??，∴，即n=OBHB1?m?1②当△PBA∽△ABC时，∠CBA=∠PBA，∴tan∠CBA=tan∠PBA，即
﹣3a（m﹣1），∴??n??3a(m?1)，解得，m1=﹣6，m2=1（不合题意，舍去），当m=﹣6时，n=21a，
n?a(m?3)(m?1)?BCAB722222?，即AB=BC?PB，∴4?9a?1?7?(?21a)，解得，a1=（不BAPB7∵△PBA∽△ABC，∴
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合题意，舍去），a2=?7，∴n=21a=?37，则点P的坐标为（﹣6，?37）． 715）和（﹣6，?37）； 3综上所述，符合条件的点P的坐标为（﹣4，?
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【母题 11】已知抛物线y?a(x?1)2?3（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，﹣2），顶点为B． （1）试确定a的值，并写出B点的坐标；
（2）若一次函数的图象经过A、B两点，试写出一次函数的解析式； （3）试在x轴上求一点P，使得△PAB的周长取最小值；
（4）若将抛物线平移m（m≠0）个单位，所得新抛物线的顶点记作C，与原抛物线的交点记作D，问：点O、C、D能否在同一条直线上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．
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【答案】（1）a=1， B（1，﹣3）；（2）y=﹣x﹣2；（3）P（
2，0）；（4）m=2或m=﹣3． 5（4）如图2，设抛物线向右平移m（若m＞0表示向右平移，若m＜0表示向左平移）个单位，则所得新的抛物线的顶点C（1+m，﹣3），∴新抛物线解析式为y?(x?1?m)2?3．
m?x?1?2??mm2??y?(x?1?m)?32?3），∴经过O、C解：?，得：?，∴两抛物线的交点D（1?，2224??y?(x?1)?3?y?m?3??43m23mx，若 O、C、D在同一直线上，则 有?3??(1?)，化简整的一次函数解析式是y??1?m41?m2理得m?m?6m?0，∵m≠0，∴m?m?6?0，解得：m=2或m=﹣3，∴O、C、D三点能够在同一直线上，此时m=2或m=﹣3．即抛物线向右平移2个单位，或者向左平移3个单位，均满足题目要求．
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考点：二次函数综合题；平移的性质；轴对称-最短路线问题；最值问题；压轴题．
【母题 12】如图，已知抛物线y?ax?bx?c（a≠0）经过A（﹣3，0）、B（5，0）、C（0，5）三点，O为坐标原点
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若把抛物线y?ax2?bx?c（a≠0）向下平移
213个单位长度，再向右平移n（n＞0）个单位长度得3到新抛物线，若新抛物线的顶点M在△ABC内，求n的取值范围； （3）设点P在y轴上，且满足∠OPA+∠OCA=∠CBA，求CP的长．
【答案】（1）y??122x?x?5；（2）0＜n＜3；（3）7或17． 33（2）∵y??平移
122162x?x?5，∴抛物线顶点坐标为（1，），∴当抛物线y?ax?bx?c（a≠0）向下33313个单位长度，再向右平移n（n＞0）个单位长度后，得到的新抛物线的顶点M坐标为（1+n，1），3
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