【答案】（1）y?12119139557x?x?1，D（，?）；（2）P（，?）；（3）存在．N（，）或（?，228224282553515）或（，?）或（?，?）．
88822（2）如图1，设P（
1121，k），∵y?x?x?1，∴C（0，－1），∵A（-1，0），B（2，0），
222∴A、B两点关于对称轴对称，连接CB交对称轴于点P，则△ACP的周长最小．设直线BC为y=kx+b，则：
1?k??2k?b?0111131?y?x?1y???1?，解得：，∴直线BC为：．当x=时，=，∴P（，2??222242?b??1??b??1?3）； 4OC1?，OB2（3）存在．如图2，过点作NF⊥DM，∵B（2，0），C（0，﹣1），∴OB=2，OC=1，∴tan∠OBC=tan∠OCB=
OB1211=2，设点N（m，m?m?1），∴FN=|m﹣|， OA22212191211FD=|m?m?1?|=|m?m?|，∵Rt△DNM与Rt△BOC相似，∴∠MDN=∠OBC，或∠MDN=
228228∠OCB；
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考点：二次函数综合题；相似三角形的判定与性质；分类讨论；压轴题．学科*网
【母题 6】如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线y?ax?bx?c与x轴的另一个交点为A，顶点为P，且对称轴为直线x=2． （1）求该抛物线的解析式；
（2）连接PB、PC，求△PBC的面积；
（3）连接AC，在x轴上是否存在一点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2
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【答案】（1）y?x2?4x?3；（2）3；（3）存在两点Q1（0，0），Q2（点的三角形与△ABC相似．
7，0），能使得以点P，B，Q为顶3（2）如图1，∵y?x2?4x?3=(x?2)2?1，又∵B（3，0），C（0，3），∴PC=22?42=20=25，22222PB=(3?2)?1=2，∴BC=32?32=18=32，又∵PB?BC=2+18=20，PC=20，∴
PB2?BC2?PC2，∴△PBC是直角三角形，∠PBC=90°，∴S△PBC=
11PB?BC=?2?32=3；
22（3）如图2，由y?x2?4x?3=(x?2)2?1，得P（2，﹣1），设抛物线的对称轴交x轴于点M，∵在Rt△PBM中，PM=MB=1，∴∠PBM=45°，PB=2．
由点B（3，0），C（0，3）易得OB=OC=3，在等腰直角三角形OBC中，∠ABC=45°，由勾股定理，得BC=32． 假设在x轴上存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似． ①当
BQPB?，∠PBQ=∠ABC=45°时，△PBQ∽△ABC． BCAB即BQ2，解得：BQ=3，又∵BO=3，∴点Q与点O重合，∴Q1的坐标是（0，0）． ?232BQPB?，∠QBP=∠ABC=45°时，△QBP∽△ABC． BACB
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②当
即
2BQ2，解得：QB=． ?3232∵OB=3，∴OQ=OB﹣QB=3﹣
277=，∴Q2的坐标是（，0）． 333
考点：二次函数综合题；分类讨论；存在型；压轴题．
【母题 7】如图，直线y??3x?23与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和3个单位长度/秒，设运动时间为t秒，以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F．
（1）求点A，点B的坐标；
（2）用含t的代数式分别表示EF和AF的长；
（3）当四边形ADEF为菱形时，试判断△AFG与△AGB是否相似，并说明理由．
（4）是否存在t的值，使△AGF为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
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【答案】（1）A（2，0），B（0，23）；（2）EF=t，AF=4﹣2t；（3）相似；（4）y?3(x?2)2． 6（3）相似．理由如下：
当四边形ADEF为菱形时，则有EF=AF，即t=4﹣2t，解得t=
484，∴AF=4﹣2t=4﹣=，OE=OB﹣
333BE=23?3?42323=，如图，过G作GH⊥x轴，交x轴于点H，则四边形OEGH为矩形，∴GH=OE=，333又EG∥x轴，抛物线的顶点为A，∴OA=AH=2，在Rt△AGH中，由勾股定理可得
AG2?GH2?AH2=(16416AFAG232?，且 )?22=，又AF?AB=×4=，∴AF?AB=AG2，即
AGAB3333∠FAG=∠GAB，∴△AFG∽△AGB；
（4）存在，∵EG∥x轴，∴∠GFA=∠BAO=60°，又G点不能在抛物线的对称轴上，∴∠FGA≠90°，∴当△AGF为直角三角形时，则有∠FAG=90°，又∠FGA=30°，∴FG=2AF，∵EF=t，EG=4，∴FG=4﹣t，且AF=4﹣2t，∴4﹣t=2（4﹣2t），解得t=
44，即当t的值为秒时，△AGF为直角三角形，此时OE=OB﹣3320