设直线BC解析式为y=kx+m，把B、C两点坐标代入可得：??5k?m?0?k??1，解得：?，∴直线BC的
?m?5?m?5解析式为y=﹣x+5，令y=1，代入可得1=﹣x+5，解得x=4，∵新抛物线的顶点M在△ABC内，∴1+n＜4，且n＞0，解得0＜n＜3，即n的取值范围为0＜n＜3；
②当点P在y轴正半轴上时，可求得PO=PC﹣OC=17﹣5=12，如图2，在y轴正半轴上截取OP′=OP=12，连接AP′，则∠OP′A=∠OPA，∴∠OP′A+∠OCA=∠OPA+∠OCA=∠CBA，∴P′也满足题目条件，此时P′C=OP′﹣OC=12﹣5=7，综上可知PC的长为7或17．
考点：二次函数综合题；分类讨论；和差倍分；二次函数图象与几何变换；压轴题． 【母题 13】如图，抛物线y?ax?bx?c经过△ABC的三个顶点，与y轴相交于（0，（﹣1，2），点B是点A关于y轴的对称点，点C在x轴的正半轴上． （1）求该抛物线的函数关系表达式．
（2）点F为线段AC上一动点，过F作FE⊥x轴，FG⊥y轴，垂足分别为E、G，当四边形OEFG为正方形时，求出F点的坐标．
29），点A坐标为4
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（3）将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG，当点E和点C重合时停止运动，设平移的距离为t，正方形的边EF与AC交于点M，DG所在的直线与AC交于点N，连接DM，是否存在这样的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在请说明理由．
【答案】（1）y??1291x?；（2）F（1，1）；（3）t的值为，3?5或1． 4421?m?????m?n?213?2y??x?设直线AC的解析式为y=mx+n，则有：，解得：，∴直线AC的解析式为． ??22?3m?n?0?n?3??2设正方形OEFG的边长为p，则F（p，p）． ∵点F（p，p）在直线y??1313x?上，∴?p??p，解得p=1，∴点F的坐标为（1，1）． 2222②当点F在第二象限时，同理可得：点F的坐标为（﹣3，3），此时点F不在线段AC上，故舍去． 综上所述：点F的坐标为（1，1）；
（3）过点M作MH⊥DN于H，如图2，则OD=t，OE=t+1． ∵点E和点C重合时停止运动，∴0≤t≤2．
131313t?，则N（t，?t?），DN=?t?． 22222213111当x=t+1时，y=?(t?1)?=?t?1，则M（t+1，?t?1），ME=?t?1．
22222122122在Rt△DEM中，DM=1?(?t?1)=t?t?2．
24当x=t时，y??
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考点：二次函数综合题；综合题；分类讨论．学科*网
【母题 14】如图，抛物线y?x2?bx?c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN//y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值； （3）在（2）的条件下，当MN取最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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【答案】（1）y?x2?4x?3；（2）
9114143?17；（3）（2，）、（2，）、（2，?）、（2，）或（2，422223?17）． 2（3）假设存在．设点P的坐标为（2，n）． 当m=
333323222时，点N的坐标为（，），∴PB=(2?3)?(n?0)=1?n2，PN=(2?)?(n?)，22222BN=(3?)?(0?)=32232232． 2△PBN为等腰三角形分三种情况：
①当PB=PN时，即1?n2=(2?)?(n?)，解得：n=
32232211，此时点P的坐标为（2，）； 22②当PB=BN时，即1?n2=
32141414，解得：n=±，此时点P的坐标为（2，）或（2，?）； 2222
③当PN=BN时，即(2?)?(n?)=322322323?173?17，解得：n=，此时点P的坐标为（2，）222或（2，
3?17）． 2
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综上可知：在抛物线的对称轴l上存在点P，使△PBN是等腰三角形，点的坐标为（2，
114）、（2，）、22（2，?143?173?17）、（2，）或（2，）． 222考点：二次函数综合题；分类讨论；动点型；最值问题；二次函数的最值；存在型；压轴题．
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