习题解答
习题一
1-1 ｜?r｜与?r 有无不同?
drdrdvdv和有无不同? 和有无不同?其不同在哪里?试举例说明． dtdtdtdt解：（1）
???r是位移的模，?r是位矢的模的增量，即?r?r2?r1，?r?r2?r1；
（2）
drdrds是速度的模，即. ?v?dtdtdtdr只是速度在径向上的分量. dt?（式中r?叫做单位矢）∵有r?rr，则
式中
?drdrdr??r?r
dtdtdtdr就是速度径向上的分量， dt∴
drdr不同如题1-1图所示. 与dtdt题1-1图
?dvdv?dv (3)表示加速度的模，即a?，是加速度a在切向上的分量.
dtdtdt∵有v?v?(?表轨道节线方向单位矢），所以
????dvdv?d? ???vdtdtdtdv就是加速度的切向分量. dt???d??dr与(?的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) dtdt式中
1-2 设质点的运动方程为x=x(t)，y=y(t)，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出r＝x2?y2，然
d2rdr后根据v =，及a＝2dtdt?dx??dy? v=?????及a=
dt???dt?差别何在？
1
22
22?d2x??d2y???dt2?????dt2?? 你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者???????解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有r?xi?yj，
??drdx?dy??v??i?jdtdtdt 2?22??dy?drdxa?2?2i?2jdtdtdt故它们的模即为
?dx??dy?v?v?v???????dt??dt?2x2y22x2y22?d2x??d2y?a?a?a???dt2?????dt2??????2
而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作
drv?dtd2ra?2
dtdrd2rdr与2误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明不是速度的模，而只是速度在径向上其二，可能是将
dtdtdt2?d2rd2r?d???的分量，同样，2也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中的一部分?a径?2?r???。或者概
dtdt?dt????????括性地说，前一种方法只考虑了位矢r在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢r及速度v的方
向随间的变化率对速度、加速度的贡献。 1-3 一质点在xOy平面上运动，运动方程为
x=3t+5, y=
12
t+3t-4. 2式中t以 s计，x,y以m计．(1)以时间t为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t=1 s 时刻和t＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t＝0 s时刻到t＝4s时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t＝4 s 时质点的速度；(5)计算t＝0s 到t＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式) 解：（1） r?(3t?5)i?(t2?3t?4)jm (2)将t?1,t?2代入上式即有
??12????r1?8i?0.5j m ???r2?11j?4jm ??????r?r2?r1?3j?4.5jm
??????(3)∵ r0?5j?4j,r4?17i?16j
2
?????????rr4?r012i?20j???3i?5jm?s?1 ∴ v??t4?04????dr(4) v??3i?(t?3)jm?s?1
dt???则 v4?3i?7j m?s?1
(5)∵ v0?3i?3j,v4?3i?7j
????????????vv4?v04???1jm?s?2 a??t44???dv(6) a??1jm?s?2
dt这说明该点只有y方向的加速度，且为恒量。
1-4 在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如题1-4图所示．当人以v0(m·s?1)的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．
图1-4
解： 设人到船之间绳的长度为l，此时绳与水面成?角，由图可知 l2?h2?s2
将上式对时间t求导，得
dlds?2s dtdt根据速度的定义，并注意到l,s是随t减少的，
dlds∴ v绳???v0,v船??
dtdt 2l即 v船?? 题1-4图
vdsldll???v0?0 dtsdtscos?lv0(h2?s2)1/2v0?或 v船? ss
3
将v船再对t求导，即得船的加速度
dlds?ldv船?v0s?lv船dtdta??v0?v0dts2s2
l22(?s?)v02h2v0s??3s2ss1-5 质点沿x轴运动，其加速度和位置的关系为 a＝2+6x2，a的单位为m?s?2，x的单位为 m. 质点在x＝0处，速度为10m?s?1,试求质点在任何坐标处的速度值． 解： ∵ a?dvdt?dvdxdxdt?vdvdx 分离变量： ?d??adx?(2?6x2)dx 两边积分得
1v2?2x?2x32?c 由题知，x?0时，v0?10,∴c?50
∴ v?2x3?x?25m?s?1
1-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 a＝4+3t m?s?2，开始运动时，x＝5 m10s 时的速度和位置．
解：∵ a?dvdt?4?3t 分离变量，得 dv?(4?3t)dt 积分，得 v?4t?32t2?c1 由题知，t?0,v0?0 ,∴c1?0
故 v?4t?32t2 又因为 v?dx?4t?3t2dt2
分离变量， dx?(4t?32t2)dt
积分得 x?2t2?12t3?c2
由题知 t?0,x0?5 ,∴c2?5 故 x?2t2?12t3?5
4
v =0，求该质点在t＝
所以t?10s时
v10?4?10?3?102?190m?s?12 1x10?2?102??103?5?705m21-7 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 ?=2+3t3，?式中以弧度计，t以秒计，求：(1) t＝2 s
(2)当加速度的方向和半径成45°角时，其角位移是多少?
解： ??d?d??9t2,???18t dtdt
?2 (1)t?2s时， a??R??1?18?2?36m?s
an?R?2?1?(9?22)2?1296m?s?2
(2)当加速度方向与半径成45ο角时，有
tan45??即 R??R? 亦即 (9t)?18t 则解得 t3?于是角位移为
222a??1 an2 92?2.679rad
??2?3t3?2?3?1-8 质点沿半径为R的圆周按s＝v0t?12式中s为质点离圆周上某点的弧长,v0，bt的规律运动，b都是常量，
2求：(1)t时刻质点的加速度；(2) t为何值时，加速度在数值上等于b．
ds解：（1） v??v0?bt
dtdv??bdt 22(v?bt)van??0RRa??(v0?bt)4则 a?a??a?b? 2R22n2加速度与半径的夹角为
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