解: 门外观测者测得杆长为运动长度，l?l01?()uc2，当1?a时，可认为能被拉进门，则
ua?l01?()2
c解得杆的运动速率至少为：u?c1?(
题3-6图
a2) l0
3-6两个惯性系中的观察者O和O?以0.6c(c表示真空中光速)的相对速度相互接近，如果O测得两者的初始距离是20m，则O?测得两者经过多少时间相遇? 解: O测得相遇时间为?t
?t?L020? v0.6cO? 测得的是固有时?t?
L01??2∴ ?t?? ??v?t ?8.89?10?8s，
??v?0.6 ， c1 ， ??0.8L v或者，O?测得长度收缩，
L?L01??2?L01?0.62?0.8L0,?t???t??0.8L00.8?20??8.89?10?8s 80.6c0.6?3?103-7 观测者甲乙分别静止于两个惯性参考系S和S?中，甲测得在同一地点发生的两事件的时间间隔为 4s，而乙测得这两个事件的时间间隔为 5s．求： (1) S?相对于S的运动速度．
(2)乙测得这两个事件发生的地点间的距离．
??x1?′ 解: 甲测得?t?4s,?x?0,乙测得?t?5s，坐标差为?x??x2(1)∴ ?t???(?t?v?x)???tc21v1?()2c31
?t
v2?t4? 1?2??
?t?5c解出 v?c1?(?t243)?c1?()2?c ?t?55?1.8?108 m?s?1
(2) ?x?????x?v?t?,??∴ ?x????v?t???t?5?,?x?0 ?t453?c?4??3c??9?108m 45??x1??0． 负号表示x23-8 一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行．如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则他所乘的火箭相对于
地球的速度是多少?
解: l??3?l01??2?51??2,则∴ v?1?3?1??2 594c?c 2553-9 论证以下结论：在某个惯性系中有两个事件同时发生在不同地点，在有相对运动的其他惯性系中，这两个事
件一定不同时．
证: 设在S系A、B事件在a,b处同时发生，则?x?xb?xa,?t?tA?tB，在S?系中测得
? ?t??t?B?tA??(?t?? ?t?0,?x?0，
v?x) c2∴ ?t??0 即不同时发生． 3-10 试证明：
(1)如果两个事件在某惯性系中是同一地点发生的，则对一切惯性系来说这两个事件的时间间隔，只有在此惯性系中最短．
(2)如果两个事件在某惯性系中是同时发生的，则对一切惯性关系来说这两个事件的空间间隔，只有在此惯性系中最短．
解: (1)如果在S?系中，两事件A、B在同一地点发生，则?x??0，在S系中，?t???t???t?，仅当v?0时，等式成立，∴?t?最短．
(2)若在S?系中同时发生，即?t??0，则在S系中，?x???x???x?，仅当v?0时等式成立，∴S?系中?x?最短．
3-11 根据天文观测和推算，宇宙正在膨胀，太空中的天体都远离我们而去．假定地球上观察到一颗脉冲星(发出周期无线电波的星)的脉冲周期为 0.50s，且这颗星正沿观察方向以速度0.8c离我们而去．问这颗星的固有周期为多少?
解: 以脉冲星为S?系，?x??0，固有周期?t???0.地球为S系，则有运动时?t1???t?，这里?t1不是地球上
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某点观测到的周期，而是以地球为参考系的两异地钟读数之差．还要考虑因飞行远离信号的传递时间，
v?t1 c∴ ?t??t1?v?t1v???t????t′ ccv???t?(1?)
c??1?(10.8c2)c?1 0.6则 ?0??t???t?(1?)0.5(1?0.8)10.6vc?0.5
0.8c(1?)?c??0.3?0.1666s 1.83-12 6000m 的高空大气层中产生了一个?介子以速度v=0.998c飞向地球．假定该?介子在其自身静止系中的
-6
寿命等于其平均寿命332×10s．试分别从下面两个角度，即地球上的观测者和?介子静止系中观测者来判断?介子能否到达地球．
?6解: ?介子在其自身静止系中的寿命?t0?2?10s是固有(本征)时间，对地球观测者，由于时间膨胀效应，
其寿命延长了．衰变前经历的时间为
?t??t0v21?2c?3.16?10?5s
这段时间飞行距离为d?v?t?9470m 因d?6000m，故该?介子能到达地球．
或在?介子静止系中，?介子是静止的．地球则以速度v接近介子，在?t0时间内，地球接近的距离为
d??v?t0?599m
d0?6000m经洛仑兹收缩后的值为：
??d0d0?，故?介子能到达地球． d??d0v21?2?379m
c3-13 设物体相对S′系沿x?轴正向以0.8c运动，如果S′系相对S系沿x轴正向的速度也是0.8c，问物体相对S系的速度是多少?
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解: 根据速度合成定理，u?0.8c,v?x?0.8c ∴ vx?v?0.8c?0.8cx?u??0.98c
uv?0.8c?0.8c1?2x1?c2c3-14 飞船A以0.8c的速度相对地球向正东飞行，飞船B以0.6c的速度相对地球向正西方向飞行．当两飞船即将
相遇时A飞船在自己的天窗处相隔2s发射两颗信号弹．在B飞船的观测者测得两颗信号弹相隔的时间间隔为多少?
解: 取B为S系，地球为S?系，自西向东为x(x?)轴正向，则A对S?系的速度v?x?0.8c，S?系对S系的速度为u?0.6c，则A对S系(B船)的速度为
v??u0.8c?0.6cvx?x??0.946c
uv?1?0.481?2xc发射弹是从A的同一点发出，其时间间隔为固有时?t??2s，
题3-14图
∴B中测得的时间间隔为：
?t??t?1?vc2x2?21?0.9462?6.17s
3-15 (1)火箭A和B分别以0.8c和0.6c的速度相对地球向+x和-x方向飞行．试求由火箭B测得A的速度．(2)若火箭A相对地球以0.8c的速度向+y方向运动，火箭B的速度不变，求A相对B的速度．
解: (1)如图a，取地球为S系，B为S?系，则S?相对S的速度u?0.6c，火箭A相对S的速度vx?0.8c，则A相对S?(B)的速度为：
v?x?vx?u0.8c?(?0.6c)??0.946c u(?0.6c)(0.8c)1?2vx1?cc2或者取A为S?系，则u?0.8c，B相对S系的速度vx??0.6c，于是B相对A的速度为：
v?x?vx?u?0.6c?0.8c???0.946c u(0.8c)(?0.6c)1?2vx1?cc234
(2)如图b，取地球为S系，火箭B为S?系，S?系相对S系沿?x方向运动，速度u??0.6c，A对S系的速度为,vx?0,vy?0.8c,由洛仑兹变换式A相对B的速度为：
v?x?vx?u0?(?0.6c)??0.6c u1?01?2vxcu21?2vycv??1?0.62(0.8c)?0.64c y?u1?2vxc∴A相对B的速度大小为
2?2v??v?x?vy?0.88c
速度与x?轴的夹角??为
tan???v?yv?x?1.07
???46.8ο
题3-15图
3-16 静止在S系中的观测者测得一光子沿与x轴成60?角的方向飞行．另一观测者静止于S′系，S′系的x?轴与x轴一致，并以0.6c的速度沿x方向运动．试问S′系中的观测者观测到的光子运动方向如何? 解: S系中光子运动速度的分量为
vx?ccos60ο?0.500c
vy?csin60ο?0.866c
由速度变换公式，光子在S?系中的速度分量为
v?x?vx?u0.5c?0.6c???0.143c u0.6c?0.5c1?2vx1?cc2u21?2vy1?0.62?0.866ccv???0.990c y?u0.6c?0.5c1?2vx1?cc2光子运动方向与x?轴的夹角??满足
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