??30o，按机械能守恒定律可列式：
12lI??Mg(1?cos30?) ③ 22由③式得
1212?3g3??Mgl????(1?cos30?)???(1?)?
Il2????由①式
v?v0?由②式
I? ④ mlI?2v?v? ⑤
m220所以
(v0?求得
I?212)?v0??2 mlmv0??(2)相碰时小球受到的冲量为
l?Il1M(1?2)?(1?)?223mml6(2?33m?M12mgl
?Fdt??mv?mv?mv由①式求得
0
?Fdt?mv?mv0????6(2?3)M6gl
I?1??Ml? l3负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反．
题2-30图
2-30 一个质量为M、半径为R并以角速度?转动着的飞轮26(可看作匀质圆盘)，在某一瞬时突然有一片质量为m的碎片从轮的边缘上飞出，见题2-30 (1)问它能升高多少? (2) 解: (1)碎片离盘瞬时的线速度即是它上升的初速度
v0?R?
26
设碎片上升高度h时的速度为v，则有
2v2?v0?2gh
令v?0，可求出上升最大高度为
2v0122H??R?
2g2g(2)圆盘的转动惯量I?11碎片抛出后圆盘的转动惯量I??MR2?mR2，碎片脱离前，盘的角动量为I?，MR2，
22碎片刚脱离后，碎片与破盘之间的内力变为零，但内力不影响系统的总角动量，碎片与破盘的总角动量应守恒，
即
I??I????mv0R
式中??为破盘的角速度．于是
11MR2??(MR2?mR2)???mv0R 2211(MR2?mR2)??(MR2?mR2)?? 22得???? (角速度不变)
圆盘余下部分的角动量为
1(MR2?mR2)? 2转动动能为
题2-31图
Ek?11(MR2?mR2)?2 222-31 一质量为m、半径为R的自行车轮，假定质量均匀分布在轮缘上，可绕轴自由转动．另一质量为m0的子弹以速度v0射入轮缘(如题2-31图所示方向)．
(1)开始时轮是静止的，在质点打入后的角速度为何值?
(2)用m,m0和?27表示系统(包括轮和质点)最后动能和初始动能之比． 解: (1)射入的过程对O轴的角动量守恒
Rsin?m0v0?(m?m0)R2?
∴ ??m0v0sin?
(m?m0)R 27
mvsin?21[(m?m0)R2][00]Ek2(m?m0)Rm0sin2?(2) ??1Ek0m?m20m0v022-32 弹簧、定滑轮和物体的连接如题2-32图所示，弹簧的劲度系数为2.0 N·m；定滑轮的转动惯量是0.5kg·m，半径为0.30m ，问当6.0 kg质量的物体落下0.40m 时，它的速率为多大? 假设开始时物体静止而弹簧无伸长． 解: 以重物、滑轮、弹簧、地球为一系统，重物下落的过程中，机械能守恒，以最低点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则有
-1
2
121212mv?I??kh 222又 ??v/R
mgh?(2mgh?kh2)k2故有 v? 2mR?I(2?6.0?9.8?0.4?2.0?0.42)?0.32? 6.0?0.32?0.5?2.0m?s?1
题2-32图 题2-33图
2-33 空心圆环可绕竖直轴AC自由转动，如题2-33图所示，其转动惯量为I0，环半径为R，初始角速度为?0．质量为m的小球，原来静置于A点，由于微小的干扰，小球向下滑动．设圆环内壁是光滑的，问小球滑到B点与C点时，小球相对于环的速率各为多少?
解: (1)小球与圆环系统对竖直轴的角动量守恒，当小球滑至B点时，有
I0?0?(I0?mR2)? ①
该系统在转动过程中，机械能守恒，设小球相对于圆环的速率为vB，以B点为重力势能零点，则有
11122 ② I0?0?mgR?(I0?mR2)?2?mvB222联立①、②两式，得
22I0?0RvB?2gR?
I0?mR2(2)当小球滑至C点时，∵Ic?I0 ∴?c??0 故由机械能守恒，有
28
mg(2R)?∴ vc?2gR 请读者求出上述两种情况下，小球对地速度．
12mvc 2习题三
3-1 惯性系S′相对惯性系S以速度u运动．当它们的坐标原点O与O?重合时，t=t?=0，发出一光波，此后两惯性系的观测者观测该光波的波阵面形状如何?用直角坐标系写出各自观测的波阵面的方程． 解: 由于时间和空间都是均匀的，根据光速不变原理，光讯号为球面波．波阵面方程为：
x2?y2?z2?(ct)2 x?2?y?2?z?2?(ct?)2
题3-1图
3-2 设图3-4中车厢上观测者测得前后门距离为2l．试用洛仑兹变换计算地面上的观测者测到同一光信号到达前、后门的时间差．
?,t1?)?(l,)，在车站(S)系： 解: 设光讯号到达前门为事件1，在车厢(S?)系时空坐标为(x1ulu?lu?x)??(?l)?(1?) 212cccccl?,t2?)?(?l,)，在车站(S)系： 光信号到达后门为事件2，则在车厢(S?)系坐标为(x2cu?lu??2x2?)?(1?) t2??(t2ccc?lu于是 t2?t1??22
c??t1??(t1lc??x2??2l 或者 ?t??0,?t?t1?t2,?x??x1 ?t??(?t??uu??x)??(2l) c2c23-3 惯性系S′相对另一惯性系S沿x轴作匀速直线运动，取两坐标原点重合时刻作为计时起点．在S系中测得两事件的时空坐标分别为x1=6×10m,t1=2×10s，以及x2=12×10m,t2=1×10s．已知在S′系中测得该两事件
4
-4
4
-4
同时发生．试问：(1)S′系相对S系的速度是多少? (2) S?系中测得的两事件的空间间隔是多少?
29
解: 设(S?)相对S的速度为v，
???(t1?(1) t1vx) 21c???(t2?t2vx) 22c??t1??0 由题意 t2则 t2?t1?故 v?c2v(x2?x1) 2ct2?t1c????1.5?108m?s?1
x2?x12???(x1?vt1),x2???(x2?vt2) (2)由洛仑兹变换 x1??x1??5.2?10m 代入数值， x23-4 长度l0=1 m
?4S′系中，与x轴的夹角?'=3030°，S′系相对S系沿x轴运动，在S系中观测者
′
测得米尺与x轴夹角为??45． 试求：(1)S′系和S系的相对运动速度.(2)S系中测得的米尺长度． 解: (1)米尺相对S?静止，它在x?,y?轴上的投影分别为：
??L0cos???0.866m，L??Lxy?L0sin??0.5m
米尺相对S沿x方向运动，设速度为v，对S系中的观察者测得米尺在x方向收缩，而y方向的长度不变，即
v2?1?2,Ly?L?Lx?Lxy
c故 tan??LyLx?L?yLx?L?y?1?Lxvc22
?,L?把??45ο及Lxy代入
v20.5则得 1?2?
0.866c故 v?0.816c
(2)在S系中测得米尺长度为L?Lysin45??0.707m
3-5 一门宽为a，今有一固有长度l0(l0＞a)的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运动．若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率u至少为多少?
30