tan???v?yv?x??0.692
??在第二象限为???98.2ο
在S?系中，光子的运动速度为
2?2v??v?x?vy?c 正是光速不变．
3-17 (1)如果将电子由静止加速到速率为0.1c，须对它作多少功?(2)如果将电子由速率为0.8c加速到0.9c，又须
对它作多少功?
解: (1)对电子作的功，等于电子动能的增量，得
?Ek?Ek?mc2?m0c2?m0c2(??1)?m0c2(11?vc22?1)
?9.1?10?31?(3?108)2(11?0.12?1)
?4.12?10?16J=2.57?103eV
??Ek?Ek?(m2c2?m0c2)?(m1c2?m0c2) (2) ?Ek21?m2c2?m1c2?m0c2(11?vc222?11??vc212))
?9.1?10?31?32?1016(11?0.9211?0.82)
?5.14?10?14J?3.21?105eV
3-18
?子静止质量是电子静止质量的36207倍，静止时的平均寿命?0=2×10-6s，若它在实验室参考系中的平均
-6
寿命?= 7×10s，试问其质量是电子静止质量的多少倍?
解: 设?子静止质量为m0，相对实验室参考系的速度为v??c，相应质量为m，电子静止质量为m0e，因
???01??2,即11??2??7? ?02m01??2由质速关系，在实验室参考系中质量为：
m??207m0e1??2
故
m2077??207??725 m0e21??23-19 一物体的速度使其质量增加了10%，试问此物体在运动方向上缩短了百分之几?
36
解: 设静止质量为m0，运动质量为m， 由题设
m?m0?0.10 m0m?11??2m01??2
由此二式得
?1?0.10
1 1.10∴ 1??2?在运动方向上的长度和静长分别为l和l0，则相对收缩量为：
?ll0?l0?l1?1?1??2?1??0.091?9.1% l01.103-20 一电子在电场中从静止开始加速，试问它应通过多大的电势差才能使其质量增加0.4%?此时电子速度是多少?-31
已知电子的静止质量为9.1×10kg． 解: 由质能关系
?m?E0.4?? m0m0c21000.4m0c2?0.4?9.1?10?31?(3?108)2/100 ∴ ?E?100?3.28?10所需电势差为2.0?103伏特 由质速公式有：
?163.28?10?163J＝??2.0?10eV eV ?191.6?101??2?m0m0??mm0??m111 ???m0.41.0041?1?m0100∴ ?2?()2?1?(vc12)?7.95?10?3
1.0047-1故电子速度为 v??c?2.7?10m?s
3-21 一正负电子对撞机可以把电子加速到动能EK＝2.8×10eV．这种电子速率比光速差多少? 这样的一个电子
9
动量是多大?(与电子静止质量相应的能量为E0＝0.511×10eV
6
)
37
解: Ek?m0c2v21?2c?m0c2
m0c2v21?所以 1?2? 22c1?Ek/m0cEk?m0c由上式，
m0c22v?c1?()m0c2?Ek?c1?(0.51?106)2/(0.511?106?2.8?109)2?2.9979245?108m?s-1
c?v?2.997924580?108m?s-1?2.9979245?108?8 m?s-1
22224由动量能量关系E?pc?m0c可得
p?24E2?m0cc?24(Ek?m0c2)2?m0cc?Ek2?2Ekm0c2c1?382
?[(2.82?1018?2?2.8?109?0.511?106)?1.62?10?1.49?10?18kg?m?s?1]/3?108
413-22 氢原子的同位素氘(1H)和氚(1H)在高温条件下发生聚变反应，产生氦(2He)原子核和一个中子(0n)，并释放出大量能量，其反应方程为1H + 1H
-27
232342He + 0n
12.0135原子质量单位(1原子质量
单位＝1.600×10kg)，氚核和氦核及中子的质量分别为3.0155，4.0015，1.00865原子质量单位．求上述聚变反应释放出来的能量．
解: 反应前总质量为2.0135?3.0155?5.0290amu 反应后总质量为4.0015?1.0087?5.0102amu 质量亏损 ?m?5.0290?5.0102?0.0188amu
?3.12?10?29kg
?E??mc2?3.12?10?29??3?108?
2?2.81?10?21J?1.75?107eV
3-23 一静止质量为m0的粒子，裂变成两个粒子，速度分别为0.6c和0.8c．求裂变过程的静质量亏损和释放出的动能．
解: 孤立系统在裂变过程中释放出动能，引起静能减少，相应的静止质量减少，即静质量亏损． 设裂变产生两个粒子的静质量分别为m10和m20，其相应的速度v1?0.6c,v2?0.8c 由于孤立系统中所发生的任何过程都同时遵守动量守恒定律和能(质)量守恒定律，所以有
38
??m1v1?m2v2?m10v121?2cm101?vc212?v1?m202v21?2c?v2?0
m1?m2??m201?vc222?m0
注意m1和m2必沿相反方向运动，动量守恒的矢量方程可以简化为一维标量方程，再以v1?0.6c,v2?0.8 c代入，将上二方程化为：
mm68m10?m20，10?20?m0
0.80.686上二式联立求解可得：
m10?0.459m0, m20?0.257m0
故静质量亏损?m?m0?(m10?m20)?0.284m0由静质量亏损引起静能减少，即转化为动能，故放出的动能为
?Ek??mc2?0.284m0c2
3-24 有A，B两个静止质量都是m0的粒子，分别以v1=v,v2=-v的速度相向运动，在发生完全非弹性碰撞后合并为一个粒子．求碰撞后粒子的速度和静止质量．
解: 在实验室参考系中，设碰撞前两粒子的质量分别m1和m2，碰撞后粒子的质量为M、速度为V，于是，根据动量守恒和质量守恒定律可得：
m1v1?m2v2?MV ① m1?m2?M ②
由于 m1v1?m2v2?m0vv1?()2c?m0(?v)1?(?v2)c?0
代入①式得 V?0
M?m1?m22m0v1?()2c，即为碰撞后静止质量．
3-25 试估计地球、太阳的史瓦西半径．
解: 史瓦西半径 rs?2GM 2c24地球： M?6?10kg
39
2?6.7?10?11?6?1024?3则： rs??8.9?10m 82(3?10)太阳： M?2?1030kg
2?6.7?10?11?2?1030则： rs??3?103 m 82(3?10)3-26 典型中子星的质量与太阳质量M⊙＝2×10kg
-15
30
10km．若进一步坍缩为黑洞，其史瓦
西半径为多少?一个质子那么大小的微黑洞(10cm)，质量是什么数量级?
3 解: (1)史瓦西半径与太阳的相同，rs?3?10m
?15cm ?10?17m (2) rs?10由 rs?2GM 2crsc210?17?(3?108)29??6.7?10得 M?kg ?112G2?6.7?103-27 简述广义相对论的基本原理和实验验证．
解: 广义相对论的基本原理是等效原理和广义相对性原理．
等效原理又分为弱等效原理和强等效原理．弱等效原理是：在局部时空中，不可能通过力学实验区分引力和惯性力，引力和惯性力等效．强等效原理是：在局部时空中，任何物理实验 都不能区分引力和惯性力，引力和惯性力等效．
广义相对性原理是：所有参考系都是平权的，物理定律的表述相同．
广义相对论的实验验证有：光线的引力偏转，引力红移，水星近日点进动，雷达回波延迟等．
习题四
4-1 符合什么规律的运动才是谐振动?分别分析下列运动是不是谐振动： (1)拍皮球时球的运动；
(2)如题4-1图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很 短)．
题4-1图
解：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一 ，描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二，系统 是在 自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用． 或者说，若一个系统的运动微分方程能用
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