?1?1?r?(v0t?axt2)i?ayt2j22?1?7?13?(?2?2???4)i?()?4j
2821613?7???i?jm482-4 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力kv(k为常数)作用，t=0时质点的速度为v0，证明(1) t时刻的速度为v＝v0e?(k)tm；(2) 由0到t的时间内经过的距离为
k?()tmv0m1x＝()［1-em］；(3)停止运动前经过的距离为v0()；(4)证明当t?mk时速度减至v0的，式中mkke为质点的质量．
答: (1)∵ a?分离变量，得
?kvdv ?mdtdv?kdt ?vmvdvt?kdt即 ? ??v0v0mv?ktln?lnem v0∴ v?v0e(2) x?vdt?k?mt
??ve00tk?mtkmv0?mtdt?(1?e)
k(3)质点停止运动时速度为零，即t→∞， 故有 x????0v0ek?mtdt?mv0 k (4)当t=
m时，其速度为 kv?v0e即速度减至v0的
km?m?k?v0e?1?v0 e1. e2-5 升降机内有两物体，质量分别为m1，m2，且m2＝2m1．用细绳连接，跨过滑轮,绳子不可伸长，滑轮质量及一切摩擦都忽略不计，当升降机以匀加速a＝上观察m1，m2的加速度各为多少?
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1g上升时，求：(1) m1和m2相对升降机的加速度．(2)在地面2解: 分别以m1,m2为研究对象，其受力图如图(b)所示．
(1)设m2相对滑轮(即升降机)的加速度为a?，则m2对地加速度a2?a??a；因绳不可伸长，故m1对滑轮的加速度亦为a?，又m1在水平方向上没有受牵连运动的影响，所以m1在水平方向对地加速度亦为a?，由牛顿定律，有
m2g?T?m2(a??a)
T?m1a?
题2-5图
联立，解得a??g方向向下 (2) m2对地加速度为
a2?a??a?g 方向向上 2??'?m1在水面方向有相对加速度，竖直方向有牵连加速度，即a绝?a相?a牵 g25∴ a1?a??a?g??g
42222??arctana1?arctan?26.6o，左偏上． a?2?2-6一质量为m的质点以与地的仰角?=30°的初速v0从地面抛出，若忽略空气阻力，求质点落地时相对抛射时的动量的增量．
解: 依题意作出示意图如题2-6图
题2-6图
在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向下, 而抛物线具有对y轴对称性，故末速度与x轴夹角亦为30o，则动量的增量为
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????p?mv?mv0
由矢量图知，动量增量大小为mv0，方向竖直向下．
2-7 一质量为m的小球从某一高度处水平抛出，落在水平桌面上发生弹性碰撞．并在抛出1 s，跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也与抛出时相等．求小球与桌面碰撞过程中，桌面给予小球的冲量的大小和方向．并回答在碰撞过程中，小球的动量是否守恒?
解: 由题知，小球落地时间为0.5s．因小球为平抛运动，故小球落地的瞬时向下的速度大小为v1?gt?0.5g，小球上跳速度的大小亦为v2?0.5g．设向上为y轴正向，则动量的增量
?????p?mv2?mv1方向竖直向上，
大小 ?p?mv2?(?mv1)?mg
碰撞过程中动量不守恒．这是因为在碰撞过程中，小球受到地面给予的冲力作用．另外，碰撞前初动量方向斜向下，碰后末动量方向斜向上，这也说明动量不守恒．
2-8 作用在质量为10 kg的物体上的力为F?(10?2t)iN，式中t的单位是s，(1)求4s后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量．(2)为了使这力的冲量为200 N·s，该力应在这物体上作用多久，试就一原来
???-1
静止的物体和一个具有初速度?6jm·s的物体,回答这两个问题．
解: (1)若物体原来静止，则
??t?4??p1??Fdt??(10?2t)idt?56kg?m?s?1i,沿x轴正向，
00????p1?v1??5.6m?s?1i m???I1??p1?56kg?m?s?1i若物体原来具有?6m?s?1初速，则
?t?F?????p0??mv0,p?m(?v0??dt)??mv0??Fdt于是
0m0tt??????p2?p?p0??Fdt??p1,
0同理， ?v2??v1,I2?I1
这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理． (2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即
????I??(10?2t)dt?10t?t2
02亦即 t?10t?200?0
t解得t?10s，(t??20s舍去)
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2-9 一质量为m的质点在xOy
???r?acos?ti?bsin?tj
求质点的动量及t＝0 到t?解: 质点的动量为
?2?????p?mv?m?(?asin?ti?bcos?tj)
将t?0和t??分别代入上式，得 2?????p1?m?bj,p2??m?ai ,
则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为
??????I??p?p2?p1??m?(ai?bj)
2-10 一颗子弹由枪口射出时速率为v0m?s，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为 F =(a?bt)N(a,b为常数)，其中t以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量．(3)求子弹的质量． 解: (1)由题意，子弹到枪口时，有
?1F?(a?bt)?0,得t?(2)子弹所受的冲量
a bt1I??(a?bt)dt?at?bt2
02将t?a代入，得 ba2I?
2b(3)由动量定理可求得子弹的质量
Ia2 m??v02bv02-11 一炮弹质量为m，以速率v飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，爆炸后由于炸药使弹片增加的动能为T，且一块的质量为另一块质量的k
v+
2kT2T, v-
mkm证明: 设一块为m1，则另一块为m2，
m1?km2及m1?m2?m
于是得 m1?kmm ① ,m2?k?1k?114
又设m1的速度为v1, m2的速度为v2，则有
T?1112m1v12?m2v2?mv2 ② 222 mv?m1v1?m2v2 ③ 联立①、③解得
v2?(k?1)v?kv1 ④
将④代入②，并整理得
2T?(v1?v)2 km于是有 v1?v?将其代入④式，有
2T kmv2?v?2kT m又，题述爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行，故只能取
v1?v?证毕．
2kT2T,v2?v? mkm????????2-12 设F合?7i?6jN．(1) 当一质点从原点运动到r??3i?4j?16km时，求F所作的功．(2)如果质点
到r处时需0.6s，试求平均功率．(3)如果质点的质量为1kg，试求动能的变化．
?F解: (1)由题知，合为恒力，
∴ A合?F?r?(7i?6j)?(?3i?4j?16k)
??21?24??45J (2) P????????A45??75w ?t0.6(3)由动能定理，?Ek?A??45J
2-13 以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，在铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1 cm 解: 以木板上界面为坐标原点，向内为y坐标正向，如题2-13图，则铁钉所受阻力为
题2-13图
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