??arctan(2)由题意应有
a??Rb? 2an(v0?bt)(v0?bt)4 a?b?b?R22(v0?bt)4,?(v0?bt)4?0 即 b?b?2R22∴当t?v0时，a?b b1-9 半径为R的轮子，以匀速v0沿水平线向前滚动：(1)证明轮缘上任意点B的运动方程为x＝R(?t?sin?t)，
y＝R(1?cos?t)，式中??v0/R是轮子滚动的角速度，当B与水平线接触的瞬间开始计时．此时B所在的
位置为原点，轮子前进方向为x轴正方向；(2)求B点速度和加速度的分量表示式．
解：依题意作出下图，由图可知
题1-9图 (1)
x?v0t?2Rsin?v0t?Rsin??2cos?2?R(?t?Rsin?t)??y?2Rsinsin 22?R(1?cos?)?R(1?cos?t)(2)
dx?v??R?(1?cos?t)??xdt ?dy?v??Rsin?t)y?dt?dvx?2a?R?sin?t?x??dt ?dv?a?R?2cos?t?yy?dt?1-10 以初速度v0＝20m?s抛出一小球，抛出方向与水平面成幔660°的夹角，
6
?1求：(1)球轨道最高点的曲率半径R1；(2)落地处的曲率半径R2． (提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系)
解：设小球所作抛物线轨道如题1-10图所示．
题1-10图 (1)在最高点，
v1?vx?v0cos60o
an1?g?10m?s?2
又∵ an1?v12?1
v12(20?cos60?)2?1??an110∴
?10m(2)在落地点，
v2?v0?20m?s?1,
而 an2?g?cos60
2v2(20)2??80m ∴ ?2?an210?cos60?o1-11 飞轮半径为0.4 m
β=70.2 rad·s?2，求t＝2s时边缘上各点的速度、法向
解：当t?2s时，???t?0.2?2?0.4 rad?s 则v?R??0.4?0.4?0.16m?s?1
?1an?R?2?0.4?(0.4)2?0.064m?s?2
a??R??0.4?0.2?0.08m?s?2
2a?an?a?2?(0.064)2?(0.08)2?0.102m?s?2
7
1-12 如题1-12图，物体A以相对B的速度v＝2gy沿斜面滑动，y为纵坐标，开始时A在斜面顶端高为h处，B物体以u匀速向右运动，求A物滑到地面时的速度． 解：当滑至斜面底时，y?h，则v?A?度为
2gh,A物运动过程中又受到B的牵连运动影响，因此，A对地的速
???'vA地?u?vA??
?(u?2ghcos?)i?(2ghsin?)j
题1-12图
1-13 一船以速率v1＝30km·h沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率v2＝40km·h
-1
-1
沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何? 解：(1)大船看小艇，则有v21?v2?v1，依题意作速度矢量图如题1-13图(a)
???
题1-13图
由图可知 v21?2v12?v2?50km?h?1
方向北偏西 ??arctanv13?arctan?36.87? v24(2)小船看大船，则有v12?v1?v2，依题意作出速度矢量图如题1-13图(b)，同上法，得
???v12?50km?h?1
方向南偏东36.87o
1-14 当一轮船在雨中航行时，它的雨篷遮着篷的垂直投影后2 m的甲板上，篷高4 m 但当轮船停航时，甲板上
-1
干湿两部分的分界线却在篷前3 m ，如雨滴的速度大小为8 m·s，求轮船的速率． 解： 依题意作出矢量图如题1-14所示．
题1-14图
∵ v雨船?v雨?v船
8
???∴ v雨?v雨船?v船 由图中比例关系可知
???v船?v雨?8m?s?1
习题二
2-1 一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为m1的物体，另一边穿在质量为m2的圆柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑动．今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱体相对于绳子以匀加速度a?下滑，求m1，m2相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩擦力(绳轻且不可伸长，滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计)． 解：因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为a1，其对于m2则为牵连加速度，又知m2对绳子的相对加速度为a?，故m2对地加速度，由图(b)可知，为
a2?a1?a? ①
又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力f在数值上等于绳的张力T，由牛顿定律，有
m1g?T?m1a1 ②
T?m2g?m2a2 ③
联立①、②、③式，得
(m1?m2)g?m2a?a1?m1?m2(m?m2)g?m1a? a2?1m1?m2mm(2g?a?)f?T?12m1?m2讨论 (1)若a??0，则a1?a2表示柱体与绳之间无相对滑动．
(2)若a??2g，则T?f?0，表示柱体与绳之间无任何作用力，此时m1, m2均作自由落体运动．
题2-1图
9
v0的方向与斜面底边的水平线AB2-2 一个质量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为?）上以初速度v0运动，
解: 物体置于斜面上受到重力mg，斜面支持力N.建立坐标：取v0方向为X轴，平行斜面与X轴垂直方向为Y轴.如图2-2.
?
题2-2图
X方向： Fx?0 x?v0t ① Y方向： Fy?mgsin??may ②
t?0时 y?0 vy?0
y?由①、②式消去t，得
1gsin?t2 2y?1gsin??x2 22v02-3 质量为16 kg 的质点在xOy平面内运动，受一恒力作用，力的分量为fx＝6 N，fy＝-7 N，当t＝0时，x?y?0，vx＝-2 m·s，vy＝0．求
-1
当t＝2 s
(1)位矢；(2)
解： ax?fx63??m?s?2 m168ay?fym??7m?s?2 16(1)
235vx?vx0??axdt??2??2??m?s?1084
2?77vy?vy0??aydt??2??m?s?10168于是质点在2s时的速度
5?7??v??i?j48(2)
m?s?1
10