f??ky
第一锤外力的功为A1
A1??f?dy???fdy??kydy?ss01k ① 2式中f?是铁锤作用于钉上的力，f是木板作用于钉上的力，在dt?0时，f???f． 设第二锤外力的功为A2，则同理，有
A2??kydy?1y212kky2? ② 22由题意，有
1kA2?A1??(mv2)? ③
2212kk即 ky2??
222所以， y2?于是钉子第二次能进入的深度为
2
?y?y2?y1?2?1?0.414cm
2-14 设已知一质点(质量为m)在其保守力场中位矢为r点的势能为EP(r)?k/r, 试求质点所受保守力的大小和方向．
解: F(r)?n方向与位矢r的方向相反，即指向力心．
2-15 一根劲度系数为k1的轻弹簧A的下端，挂一根劲度系数为k2的轻弹簧B，B的下端 一重物C，C的质量为M，如题2-15图．求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势
解: 弹簧A、B及重物C受力如题2-15图所示平衡时，有
?dE(r)nk??n?1 drr
题2-15图
FA?FB?Mg
16
又 FA?k1?x1
FB?k2?x2
所以静止时两弹簧伸长量之比为
?x1k2? ?x2k1弹性势能之比为
Ep1Ep21k1?x12k?2?2 1k12k2?x2224
2-16 (1)试计算月球和地球对m物体的引力相抵消的一点P，距月球表面的距离是多少?地球质量5.98×10
8
22
6
kg，
地球中心到月球中心的距离3.84×10m，月球质量7.35×10kg，月球半径1.74×10m．(2)如果一个1kg的物体在距月球和地球均为无限远处的势能为零，那么它在P点的势能为多少? 解: (1)设在距月球中心为r处F月引?F地引，由万有引力定律，有
G经整理，得
mM月r2?GmM地?R?r?2
r?M月M地?M月=
R
7.35?10225.98?1024?7.35?10226?3.48?108
?38.32?10m 则P点处至月球表面的距离为
h?r?r月?(38.32?1.74)?106?3.66?107m
(2)质量为1kg的物体在P点的引力势能为
EP??GM月r?GM地
?R?r?117.35?10225.98?1024?11 ??6.67?10??6.67?10??38.4?3.83??1073.83?107?1.28?106J
2-17 由水平桌面、光滑铅直杆、不可伸长的轻绳、轻弹簧、理想滑轮以及质量为m1和m2的滑块组成如题2-17
17
图所示装置，弹簧的劲度系数为k，自然长度等于水平距离BC，m2与桌面间的摩擦系数为?，最初m1静止于
A点，AB＝BC＝h，绳已拉直，现令滑块落下m1,求它下落到B处时的速率．
解: 取B点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则由功能原理，有
??m2gh?11(m1?m2)v2?[m1gh?k(?l)2] 22式中?l为弹簧在A点时比原长的伸长量，则
?l?AC?BC?(2?1)h
联立上述两式，得
v?2?m1??m2?gh?kh2m1?m2?2?1?2
题2-17图
2-18 如题2-18图所示，一物体质量为2kg，以初速度v0＝3m·s从斜面A点处下滑，它与斜面的摩擦力为8N，
-1
到达B点后压缩弹簧20cm后停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度． 解: 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原 长处为弹性势能零点。则由功能原理，有
?frs?12?1?kx??mv2?mgssin37?? 2?2?12mv?mgssin37??frs k?212kx2式中s?4.8?0.2?5m，x?0.2m，再代入有关数据，解得
k?1390N?m-1
题2-18图
再次运用功能原理，求木块弹回的高度h?
18
1?frs??mgs?sin37o?kx2
2代入有关数据，得 s??1.4m, 则木块弹回高度
h??s?sin37o?0.84m
题2-19图
2-19 质量为M的大木块具有半径为R的四分之一弧形槽，如题2-19图所示．质量为m的小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从静止开始，求小木块脱离大木块时的速度． 解: m从M上下滑的过程中，机械能守恒，以m，M，地球为系统，以最低点为重力势能零点，则有
121mv?MV2 22又下滑过程，动量守恒，以m,M为系统则在m脱离M瞬间，水平方向有
mv?MV?0
mgR?联立，以上两式，得
v?2-20
证: 两小球碰撞过程中，机械能守恒，有
2MgR
?m?M?
121212mv0?mv1?mv2 222222即 v0?v1?v2 ①
题2-20图(a) 题2-20图(b) 又碰撞过程中，动量守恒，即有
???mv0?mv1?mv2
亦即 v0?v1?v2 ②
由②可作出矢量三角形如图(b)，又由①式可知三矢量之间满足勾股定理，且以v0为斜边，故知v1与v2是互相垂直的．
2-21 一质量为m的质点位于(x1,y1)处，速度为v?vxi?vyj, 质点受到一个沿x负方向的力f的作用，求相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力矩． 解: 由题知，质点的位矢为
19
????????????r?x1i?y1j
作用在质点上的力为
??f??fi
所以，质点对原点的角动量为
???L0?r?mv
?????(x1i?y1i)?m(vxi?vyj)
??(x1mvy?y1mvx)k
作用在质点上的力的力矩为
???????M0?r?f?(x1i?y1j)?(?fi)?y1fk
2-22 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆．它离太阳最近距离为r1＝8.75×10m 时的速率是v1＝5.46×10
10
4
m·s，它离太阳最远时的速率是v2＝9.08×10m·s
-1
2
-1
r2多少?(太阳位于椭圆的一个焦
点。)
解: 哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力——即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有 r1mv1?r2mv2
r1v18.75?1010?5.46?104∴ r2???5.26?1012m 2v29.08?10????????12-23 物体质量为3kg，t=0时位于r?4im, v?i?6jm?s，如一恒力f?5jN作用在物体上,求3秒后，(1)
物体动量的变化；(2)相对z轴角动量的变化．
??3???1 解: (1) ?p??fdt??5jdt?15jkg?m?s
0(2)解(一) x?x0?v0xt?4?3?7
1215at?6?3???32?25.5j 223?????即 r1?4i,r2?7i?25.5j
y?v0yt?vx?v0x?1
5vy?v0y?at?6??3?11
3??????即 v1?i1?6j,v2?i?11j ???????∴ L1?r1?mv1?4i?3(i?6j)?72k
20