医用高等数学习题解答（第1,2,3,6章） - 1 -
第一章 函数、极限与连续习题题解(P27)
一、判断题题解
1. 正确。设h(x)=f(x)+f(?x), 则h(?x)= f(?x)+f(x)= h(x)。故为偶函数。 2. 错。y=2lnx的定义域(0,+?), y=lnx2的定义域(??,0)∪(0,+?)。定义域不同。 3. 错。limx?01???。故无界。 2x4. 错。在x0点极限存在不一定连续。 5. 错。lim?x???1?0逐渐增大。 x6. 正确。设limf(x)?A，当x无限趋向于x0,并在x0的邻域内，有A???f(x)?A??。
x?x07. 正确。反证法：设F(x)=f(x)+g(x)在x0处连续，则g(x) =F(x)?f(x)，在x0处F(x)，f(x)均连续，从而g(x)在x=x0处也连续，与已知条件矛盾。 8. 正确。是复合函数的连续性定理。
二、选择题题解
1. f(x)?x2,?(x)?2x,f[?(x)]?2x2. y=x (C)
??2?22x (D)
1?0 (A)
x?0x1xsinx?0 (B) 4. limx?0cosx3. limxsin5. ?limf(x)?lim?(3x?1)?2, lim?f(x)?lim?(3?x)?2, ?limf(x)?2?f(1) (B) ?x?1x?1x?1x?1x?16. 9?x?0?x?3 (D)
7. 画出图形后知：最大值是3，最小值是?10。 (A)
8. 设f(x)?x?x?1,则f(1)??1,f(2)?13，f(x)连续，由介质定理可知。 (D)
42三、填空题题解
1. 0?x?1?2?1?x?3
医用高等数学习题解答（第1,2,3,6章） - 2 -
2. y?arctan(x)是奇函数，关于原点对称。 3. ??312?,T??6?。
?34. x??y,可以写成y??x。
t2?1t?12?lim2? 5. 设x?t，x?1,t?1，lim3t?1t?1t?1t?t?1366. arctanx??2有界，lim1?0，故极限为0。 x??xx2?4x?2?lim?4 7. limx?2sin(x?2)x?2sin(x?2)x?28. x?ax?b?(1?x)(?x?c)?x?(c?1)x?c?b?c,a??(c?1),而lim(?x?c)?5，得c=6, 从而
x?122b=6, a=?7。
1x1?sinx??sinxx9. lim(1?sinx)?lim(1?sinx)x?0x?0?e?1
tan2xsin2xsin2x5x122?lim?lim????
x?0sin5xx?0cos2x?sin5xx?02xsin5xcos2x55u11?lim??1 11. 设u=ex?1，lim1u?0ln(1?u)u?0lneln(1?u)u10. lim12. 由x?0处连续定义，lim?(a?x)?a?lim?e?1，得：a=1。
x?0x?0x四、解答题题解 1. 求定义域 (1) ??x??x?0x?0, 定义域为[1,??)和x=0 ???x?0?x(x?1)?0?x?1?1??4?x?6(2) ?5????5?x?5?定义域为[?4,5]
?2?25?x?0?(3) 设圆柱底半径为r，高为h，则v=?r2h, h?v?2v?2S?2?r?2?rh?2，则罐头筒的全面积??r??，
r??r2?其定义域为(0,+?)。
2(4) 经过一天细菌数为N1?N0?N0r?N0(1?r)，经过两天细菌数为N2?N1?N1r?N1(1?r)?N0(1?r),故
医用高等数学习题解答（第1,2,3,6章） - 3 -
x经过x天的细菌数为N?N0(1?r)，其定义域为[0,+?)。
2. f(x)?ux?2?2?2a?b?2??4，f(a?b)? (a?b??1)。 ，f(?2)??2?1a?b?1x?133. y?e,u?v,v?sint,t?1。 x4. 证明：f[x(x?1)]?lnx(x?1)?lnx?ln(x?1)?f(x)?f(x?1)。
?(t?1)2 , 0?t?1?1?(t?1)2 , 1?t?2??5. 令x+1=t, 则x=t?1。f(x?1)?f(t)??，所以：
2(t?1) , 1?t?1?22(t?1) , 2?t?3???(x?1)2 , 1?x?2f(x)??。
2(x?1) , 2?x?3?6. 求函数的极限
12n?14(1) 原式=lim1?1/2?。
n??11?n?1331?1/31?(2) 原式=lim??1???n????1?1??11?1????1lim1?=????????1。 ??????n???2??23??n?1??nn?1??3?(1?x?x2)(1?x)(2?x)2?xlim?lim?1。 (3) 原式=lim=
x?1x?1(1?x)(1?x?x2)x?11?x?x21?x3?2?2???33(4) 原式=lim??n?3。
n???2????1?3?2sin2xsinxsin2xsinx=（P289常见三角公式提示） lim4???4。
x?0x?0x22xx1arcsinxarctanxarcsinxt??lim?1 (6) 原式=lim，令arcsinx?t，则sint?x，limx?0t?0sint2x?0xxxarctanxtt1?lim?lim?cost?1，原式=。 令arctanx?t，则tant?x，limx?0t?0tantt?0sintx2(5) 原式=lim(7) 原式=lim1?3tanxx?0n?2?1?33tan2x?2=?lim1?3tanx?x?0??13tan2x??= e3。 ?3(8) 原式=lim?1??x???2??2x?1?2x?1?2?122x?1?1??2?2?2????=?lim?1??lim?1?= e2。 ????x???2x?1??x???2x?1???2医用高等数学习题解答（第1,2,3,6章） - 4 -
?x?sinx?2?xsinx??(9) 原式=lim=2limx?0x?0xx?sinx?2sin2(1?xsinx?1)??2??221?1。
1?xsinx?1ea(et?1)?ea(填空题11)。 (10) 令t?x?a，则x?a?t，原式=limt?0t7. S1?1?31aa?31aa?3a?asin?2a2，S2???sin?4a2，S3??2?2sin?6a2，?，
22232222322321?1??1?n?1aa?31?3244??11Sn??n?1?n?1sin?2na2, S?3a2??2???n?=3a2??a(n??)
1222324?3?441?48. 指出下列各题的无穷大量和无穷小量
sinx?0，为无穷小量。
x?01?cosxarctanx(2) lim?0，为无穷小量。
x??1?x2(1) lim(3) lime?sinx?0，为无穷小量。
x???x(4) limx?1??，为无穷大量。
x?0sinx9. 比较下列无穷小量的阶
lim1?x111?x3
，，当x?1时，1?x与1?x是同阶无穷小。1?x与 ?(1?x2)是等阶无穷小。lim?13x?11?x3x?11(1?x2)222
2
x2?1x2?110. 当x?0时，x是无穷小量，当x??时，x是无穷大量；当x?±1时，3是无穷小量，当x?0时，3xx是无穷大量；当x?+?时，e?x是无穷小量，当x???时，e?x是无穷大量。 11. ?y?f(3)?f(1)?(2?3?1)?(2?1?1)?19?3?16。 12. lim?x?0221sinx???1，lim??xsin?b??b，?b=1，f(0)?a?2=1，?a=?1
x?0?xx?2x?11??e2?ek?k?2 ??lim?1?(x?1)?x?1??e2，?limf(x)?f(1) , ?x?1?x?1?x2213. limxx?114. 设f(x)?e?2，f(0)??1?0，f(2)?e?2?0，由介质定理推论知：在(0,2)上至少存在一点x0
医用高等数学习题解答（第1,2,3,6章） - 5 -
x使得f(x0)?0，即e?2?0。
15. 设f(x)?asinx?b?x，它在[0,a+b]上连续，且f(0)?b?0，f(a?b)?a[sin(a?b)?1]?0，若f(a?b)?0，则a+b就是方程f(x)?0的根。若f(a?b)?0，由介质定理推论知：至少存在一点??(0, a+b), 使得f(?)?0,即?是f(x)?0的根。综上所述，方程x?asinx?b至少且个正根，并且它不超过a+b。 16. (1)w(0)?26262626263w?lim?26??(g)；(2)(g)；(3)?t?ln30?5(周)。 22max0?3t?3tt???21?30e1?30e3121?30e17. 设F(x)?f(x)?g(x)，则F(x)在[a,b]上连续，F(a)?f(a)?g(a)?0，F(b)?f(b)?g(b)?0，由介质定理推论知：至少存在一点??(a, b), 使得F(?)?0。即f(?)?g(?)?0?f(?)?g(?)。所以y?f(x)与y?g(x)在(a,b)内至少有一个交点。