医用高等数学习题解答（第1,2,3,6章） - 6 -
第二章 一元函数微分学习题题解(P66)
一、判断题题解
1. 正确。设y=f(x), 则lim?y?lim??x?0?y???y????x???limlim?x)?y??0?0。 ?(??x?0?x?x?0?x????x?02. 正确。反证法。假设F(x)?f(x)?g(x)在x0点可导，则g(x)?F(x)?f(x)在x0点也可导，与题设矛盾。故命题成立。
3. 错。极值点也可能发生一阶导数不存在的点上。 4. 错。如图。
5. 错。拐点也可能发生二阶导数不存在的点上。 6. 错。不满足拉格朗日中值的结论。 7. 错。设f(x)?x, g(x)?yoabx1，则：F(x)?f(x)?g(x)?1， x显然f(x)在x?0点的导数为1，g(x)在x?0点的导数不存在，而F(x)在x?0点的导数为0。是可导的。
338. 错。设y?x和y?3x，显然它们在(??,+?)上是单调增函数，但在x?0点y?x的导数为0，y?3x的
导数不存在。
二、选择题题解
1. 设切点坐标为(x0,y0)，则切线的斜率k?y?x?x?2x0，切线方程为：y?y0?2x0(x?x0)过(0,?1)得
01?y0?2x20，又有
y0?x20，解方程组
?1?y0?2x02得：y0?1，x0??1，切线方程为：y??2x?1。(A) ?2y?x?002. 可导一定连续。(C) 3. 连续但不可导。(C) 4. 因为??(x2,x1)?(a,b)。(B)
5. y1?x ,y2?3x，在x=0处导数不存在，但y1在x=0处切线不存在，y2在x=0处切线存在。(D)。 6. f??(0)?limsin(0??x)?0sin?x(0??x)?0?lim?1,f??(0)?lim?1可导。(C)
?x?0?x?0?x?x?0?x?x医用高等数学习题解答（第1,2,3,6章） - 7 -
x5xx5x7. f(e)?e，f?(e)?5e。(B)
(0??x)2sin8. lim?x?01?010??x?lim?xsin?0。(B)
?x?0?x?x三、填空题题解
1. f?(x)?1xx?12,f?(?2)?1?2(?2)?12?123。
2. (cscx)???cscx?cotx
3. [sin(xy)]?x?(x?y)?x?cos(xy)?(y?xy?)?1?y?, y??4. d(esinx)?esinx?cosx2?2xdx。
5. f?(x)?6x?6x?36?6(x?2)(x?3)，当?2?x?3时，f?(x)?0，单调调减小。 6. lny?[lnf(x)?lng(x)]?
222ycos(xy)?1。
1?xcos(xy)12f(x)?f?(x)g?(x)?11?f?(x)g?(x)????。 y??????y????????y2?f(x)g(x)?2g(x)?f(x)g(x)?7. f(x)?x?x，f?(x)?5323522?1123x?x3?3?5x?2?，当x?时，f(x)由减变增，取得极小值。 3353x8.
dydx11。 ?1?ex，??dxdydy1?exdx四、解答题题解
11??2???10(1??t)?g(1??t)???10?g?122???????lim?10?g?g?t??10?g 1. S?(1)?lim?t?0?t?0?t2??(0??x)sin2. (1)lim?x?01?010??x不存在，f(x)在x?0不可导。 ?limsin?x?0?x?x(0??x)2sin(2) lim?x?01?01??0??x?lim??x?sin??0，f(x)在x?0可导，且f?(0)?0。
?x?0?x?x??(0??x)??01?lim1????不可导。 3. lim?x?0?x?0?x?x医用高等数学习题解答（第1,2,3,6章） - 8 -
4. 过(1,1)与(2,4)两点的割线斜率为k?4?1?3，抛物线y?x2过x点的切线斜率为y??2x，故2x?3，得2?139?39?x?,y?，?,?即为所求点。
24?24?x2?y05. 过(x0,y0)点作抛物线y?x的切线，设切点为(x,x)，应满足?2x方程，若方程有两个不等的
x?x0222实根x，则说明过(x0,y0)点可作抛物线的两条切线。整理方程得：x?2x0x?y0?0，当??4x0?4y0?0时，2方程有两个不等的实根。也就是要满足y0?x0即可。
26. 求下列函数的导数。 (1) y??(x?a)??nxnxn?1?axlna
(2) y??(x?lnx?5)??1?n1 xn?1(3) y??(xsinx?cosx?x)??nxsinx?xncosx?sinx?1
tanxx2sec2x?2xtanx112tanx1????(4) y??(2?arctanx)??
xx41?x2x2cos2xx31?x2(5) y??(sin2x?lnx)??cos2x?lnx?12sin2x 2x?secx(1?x)secxtanx?secx???ln(1?n)??(6) y??? 21?x(1?x)??7. 求下列函数的导数。 (1) y??n(1?x)2nn?1?(1?xn)??n(1?xn)n?1?nxn?1?n2xn?1(1?xn)n?1
222(2) y??(x)?tan3x?x(tan3x)??2xtan3x?3xsec3x (3) y??[lnsinx?ln(1?x)]??2cosx2x2x??cotx? sinx1?x21?x2(4) y???[ln(2x?1)]?1(2x?1)?2???
ln(2x?1)ln(2x?1)2x?1(2x?1)ln(2x?1)(5) y??[ln(1?sinx)?ln(1?sinx)]??cosxcosx2cosx???2secx
1?sinx1?sinxcos2x医用高等数学习题解答（第1,2,3,6章） - 9 -
(ln3x)?3(ln2x)(lnx)?3ln2x6ln(ln3x)33?2ln(lnx)3?(6) y??ln(lnx)?2ln(lnx)[ln(lnx)]??2ln(lnx)3?2ln(lnx) 3lnxlnxxlnxxlnx?23??333n?(t)kn0ekt8. n?(t)?[n0e]??kn0e，??k。 ktn(t)n0ektkt9. 求下列函数的导数。 (1) lny?sinxlnx，
1sinxsinx?sinx??y??cosxlnx?，y??x?cosxlnx??
x?yx?(2) lny?112cos2x?1???ln2?ln(x?1)?ln(x?3)?lnsin2x?，1?y??1???，
y2?x?1x?3sin2x?2y??12(x?1)(x?3)?11(x?1)(x?3)?11????2cot2x?????2cot2x? ??2sin2x2sin2x?x?1x?3?x?1x?3??xxy ?(lny)??lnx?1，?lny(lnx?1)，y ??ylny(lnx?1),y??ex?xx(lnx?1) lnyy(3) lny?x,lnlny?xlnx，
xn(4) lny?xlnarcta，?y?x1xx???lnarctanx????, y ?(arctanx)ln(arctanx)?2?? yarctanx1?x2(1?x)arctanx??10. 求下列函数的n阶导数。
x2(n)xn(1) y?5，y??5ln5，y???5ln5，…，y?5ln5
xx(2) y?acosbx，y???absinbx?abcos?bx????????????22?，y????absin?bx???abcos?bx???，2?2?22???3??y?????ab3sin?bx????ab3cos?bx?2?(3) y?lnx，y??????(n)ny?abcosbx?n?，…，???
2???1?x?1，y????x?2，y????2x?3，…，y(n)?(?1)n?1?(n?1)!x?n x11. 求下列隐函数的导数。
x2?ay(1) (x?y?3axy)?x?0，3x?3yy??3a(y?xy?)?0，y??
ax?y23322(2) 同填空题3。[sin(xy)]?x?(x?y)?x?cos(xy)?(y?xy?)?1?y?, y??ycos(xy)?1。
1?xcos(xy)?(1?xy)exy(3) (y?xe)?x?(cosy)?x?y??e?xe(y?xy?)??siny?y??y?? 2xy1?siny?xexyxyxy医用高等数学习题解答（第1,2,3,6章） - 10 -
1?y?x2y2y?xy?(4) [arctan(xy)?y]?x?(x)?x? ?y??1?y??1?x?x2y21?(xy)212. 求下列函数的微分。 (1) dy?d(esinx)?esinxd(sinx)?esinxcosxdx
2x(2) dy?d(arcsine)?d(e2x)1?(e)2x2?e2xd(2x)1?e4x?2e2xdx1?e4x
(3) dy?d[sin(x?arccosx)]?cos(x?arccosx)d(x?arccosx)?cos(x?arccosx)??1?????dx 2?1?x?1(4) dy?d(e2arctanx)?e2arctanxd(2arctanx)?e2arctanx22e2arctanxdx?dx 221?x1?x?13. 求5、sin31近似值。
(1) 设f(x)?x，则f?(x)?12x2，取x0?2.2?4.84，?x?0.16，则f(x0)?4.84?2.2，
f?(x0)?1?0.227，故5?f(x0??x)?f(x0)?f?(x0)?x?2.2?0.227?0.16?2.236
24.84?(2) 设f(x)?sinx，则f?(x)?cosx，取x0?30??6，?x?1???180，则f(x0)?sin30??1，2f?(x0)?cos30??313????0.515 ，故sin31?f(x0??x)?f(x0)?f?(x0)?x??22218014. 证明下列不等式。
22(1) 设f(x)?x?tanx，则f?(x)?1?secx??tanx?0，f(x)在??,?上单调递减。当x???,0?时，
?????22?????2????f(x)?f(0)，即x?tanx，当x??0,?时，f(x)?f(0)，即x?tanx，当x?0时，f(x)?f(0)，即x?tanx，
?2?综上所述，当x???,?时，x?tanx。
?????22?(2) 设f(x)?11?xx1???0,有f(x)?f(0),?ln(1?x)?1??ln(1?x),当x?0时,f?(x)?22(1?x)1?x(1?x)1?x1?x即
x1x?ln(1?x)；设f(x)?x?ln(1?x),当x?0时,f?(x)?1???0,有f(x)?f(0),即x?ln(1?x)；综1?x1?x1?x