医用高等数学习题解答（第1,2,3,6章） - 16 -
y?? y + + 极小 1 + yx?arctanx?lim?1，b?lim(y?ax) x??xx??x??x??1=lim?(x?arctanx)?x???，有两条渐进线：y?x?。y??1??02x??221?x(5) y?x?arctanx，定义域(??,+?)，是奇函数，a?lim?2x无驻点，y???，令y???0，得x?0 22(1?x)x yy?x?arctanx?2(??,0) + + 0 0 + 拐点 0 (0,??) + ? y? y?? y ??2?o?2x?2 1?x21?x2?arccos(?1)??，有一条水平渐进(6) y?arccos，定义域(??,+?)，是偶函数，limarccosx??1?x21?x2?4x??2 , x?0 , x?022?2?4x?2x?(1?x)1?x???0，f(0)?arccosy?线y=?,y??=，=1?0，??4x?222(1?x)x?? , x?0(1?x) , x?0222??1?x?(1?x)f(?1)?arccos0?x ?2。
y(0,??) + ? (??,0) ? ? 0 无 无 y? ?/21?x2y?arccos1?x2y?? y 极小0 ?1o 1x28. 已知不在同一直线上的三点A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)；试用xi,yi表示?ABC的面积。 解：由P55例42知：直线y?kx?b到(x0,y0)的距离为：d?y0?kx0?b1?k2。那么，直线AB的方程为：
医用高等数学习题解答（第1,2,3,6章） - 17 -
y?y1?y2?y1y?yxy?xy(x?x1)?y?21x?2112，AB两点间的距离为：(x2?x1)2?(y2?y1)2，
x2?x1x2?x1x2?x1?ABC的面积=
y?kx3?b1 (x2?x1)2?(y2?y1)2?3221?ky3?y2?y1xy?xy?x3?2112x2?x1x2?x1?y2?y1?1???x?x???21?2=
1(x2?x1)2?(y2?y1)2?2
=
1(x2?x1)2?(y2?y1)2?2y3(x2?x1)?(y2?y1)x3?(x2y1?x1y2)x2?x1(x2?x1)?(y2?y1)x2?x122
=
11y3(x2?x1)?(y2?y1)x3?(x2y1?x1y2)=(x1y2?x2y3?x3y1)?(y1x2?y2x3?y3x1) 22x2y229. 椭圆2?2?1(a?b)的切线与x轴y轴分别交于A、B两点，(1)求AB之间的最小距离；(2)求三角形
ab?OAB的最小面积。
yA(x0,y0)x2y2解：椭圆方程：2?2?1…①如图。设切点坐标为(x0,y0)，
abb2xb2x0则y???2…②，此点切线斜率为：k??2，切线方程为：
ayay0oxBb2x0y?y0??2(x?x0)。
ay02a2y02b2x02?a2y0a2a2令y?0，x?x0?2??，坐标A(,0)。
bx0b2x0x0x0222b2x0b2x0?a2y0b2b2令x?0，y?y0?2??，坐标B(0,)。 2ay0ay0y0y0a4b4?2a4?2b4a4b4???3?y?(1) AB?oA?oB?2?2。可设l?2?2，令lxx?0，将②代入得：3xyxyx0y0222b32a4b4?b2x?b3a32?3???2??0?y?3x，代入①得驻点：x??，y??。 3??axy?ay?a?ba?b医用高等数学习题解答（第1,2,3,6章） - 18 -
?26??2b6?42b6??42b4?4?54?4?5?bx?4?3?4?2?y?4xy?2?l????x?=6ax?? ??2ax?a2xy??=6ax?a2?y?4xy?y?aay????a4b42b6??44b22?6?2?l???a(a?b)?b(a?b)?(a?b)=6ax?2?有极小值。，故ABy?xy?0332?aba?a??a?ba?b4?4之间的最小距离是a?b。
1a2b2122122122?b2x??1?2?2???ab(xy)，S???ab(xy)(y?xy?)=?ab(xy)?(2) 可设面积S??， y?x2???2xy222ay??b22ab令S??0，得：y?2x，代入①得驻点：x?，y?(三角形边长取值应大于零)。
a222?3112?3122?2?1??S????by?abxy?=?b2y?4y??a2b2?2x?3y?1?x?2y?2y?
222?2???2?3b4xa2b2b432?4??b2x?122??3?1?2?2??bx??=25?3????ab??2xy?xy?=?by? 322??????2ayxy2xy2ay2ay???????3b4??ab??S???,???22??2a2??a??a2b2b464b2b62b2?=????=??0有极小值。 533abaaabab??a??b??a??b??????2????2??2??2??2??2?a2b2?ab?S?,?ab，故三角形的最小面积为a?b。 ??ab????22??2?????2??2?第三章 一元函数积分学习题题解(P108)
一、判断题题解
1. 错。是原函数的全体，记作
?f(x)dx?C。
2. 错。f(x)的任意两个原函数之差为常数。 3. 错。是F(x)?C。 4. 正确。
5. 错。被积函数在x=0处无界。
医用高等数学习题解答（第1,2,3,6章） - 19 -
6. 正确。y??sinx，y?x?0?0
7. 正确。被积函数是奇函数，积分区间对称。 8. 正确。
二、选择题题解
1. f(?x)??x?x??f(x)被积函数是奇函数，积分区间对称，定积分为零。或
? 1?1xxdx=
? 0?1?x2dx??x2dx
0113111=?x?x3=??0?(?1)??(1?0)?0。(A)
333?1302.
0??111 0??????0?=+=+=dxdxdxarctanxarctanx?????0??。(A) ???1?x2???1?x2? 01?x2?? 0?2?2?? 013. 正确的是C。 4.
? a?af(?x)dx??????dx??du令u??x?a af(u)du=?f(x)dx。(D)
?a a5. 令b?ax?u，?adx?du，f(b?ax)dx??6. 令F(x)?e，则f(x)??e7.
?x?x?111==f(u)du?F(u)?C?F(b?ax)?C。(B) ?aaa，xf(x)dx??xe?xdx=xde?x=xe?x?e?xdx=e(x?1)?C。(D)
???????x?x 11?tdt???????dt?du2u4令t?ux 1x1111d?xdu?udu，????x。(D) 1?t4dt?1?u=?=? 12 1u2xdx??2u2或
d?x111?442??x ?? 11?tdt?=1?(x)(x)?=1?xdx??2x2x8.
1122?x2?x2????????????==，， df(x)?f(x)?Cf(x)f(x)dxf(x)df(x)f(x)?ef(x)??2xe?2??221122?2x2?x2??C。(B) ? ?f(x)??C=?2xe?C=2xe22??三、填空题题解 1. xln(1?x)dx=
?21?2xdx?112222222(1?x)ln(1?x)?(1?x)?ln(1?x)d(1?x)(1?x)ln(1?x)?2?xdx ==??2??2?1?x?22??=
1(1?x2)ln(1?x2)?x2?C。 2??1?11?cos2kx?2dx=?x?sin2kx?= ?。 2. ?sinkxdx=?????22?2k??? ? ? ?医用高等数学习题解答（第1,2,3,6章） - 20 -
3.
?arctanxdx=x?arctanx?? ?x1=dxx?arctanx?ln(1?x2)?C。 21?x2 ?1?111?4. ?sinkxsinlxdx =???cos(k?l)x?cos(k?l)x?dx=??sin(k?l)x?sin(k?l)x?= 0。
????22?k?lk?l??? ?dexex1xdxarctane?C。 5. ?x===dxx22x?x??1?(e)e?1e?edx2?16. costdt=cos(x2?1)?(x2?1)?=2xcos(x2?1)。 ?dx 017. ?sin2xdx=?cos2x?C。
28. 这是积分上限函数，由定理3知：Φ?(x)?f(x)，?y??xe。
x四、解答题题解
1. 分别对三个函数求导数，结果皆为2. (1) 错。F(x)?C是不定积分。 (2) 错。
2，所以它们是同一函数的原函数。 x?f(x)dx是f(x)所有原函数。
(3) 正确。设F(x)?C是f(x)的一个原函数，则F?(x)?0?f(x)。 (4) 正确。因为积分变量不同，造成被积函数不同。 (5) 正确。因为n??1时，xdx?3. 求下列不定积分 (1)
32x?x?C =(1?3x)dx??n1n?1x?C。 n?12x13?x?C (2) ?(2?x)dx=
ln23x2xx2x?1??C=x2?2x2?C dx=?(x?x)dx=(3) ?113x?1??122(4)
121?21?121??1231?2x(x?3)dx=?x?3x)dx=x2?2x2?C
53212531?x2?1x21??dxdx1?dx=x?arctanx?C (5) ?==?2?22??1?x1?x?1?x?