医用高等数学习题解答（第1,2,3,6章） - 31 -
24. 如右图所示。
?1?32A???x2?4x?5?dx=?x3?2x2?5x?=
3?3?335525. 如下图所示。
y??x2?4x?3，y???2x?4，y?x?0?4，y?x?3??2，两条切线方程为：
?y?4x?3，其交点坐标为：?3,3?
???y??2x?6??2?A??32 0?(4x?3)?(?x 322?4x?3)dx??3(?2x?6)?(?x2?4x?3)dx
2? 3??=
?32 0?1??1?9xdx??3(x?6x?9)dx=?x3???x3?3x2?9x?=。
2?3?0?3?342323226. 如右图所示。
y3?8?a2by2?22?2?Vy?2??xdy=2??a??y?3b2??=3 ?1?b2??dy=2?a? 0 0??0??bbb27. 如右图所示。
1?3??1Vx???xdx???xdx=??x2?x5??
005?010?2114128. 如右图所示。
4422Vx?2????05?16?xdx??05?16?xdx??
??????=40??40xx???16?xdx=40??8arcsin??16?x2?=40??8?=160?2。
242??02429. 求曲线x?y?1在?0,1?上的弧长。y?1?x?1?2x?x,y??1?12??21 xl??1?(y?)dx=?012012121令x?u,x?u12??dx???????2??22udu=2?2u2?2u?1du
00dx?2uduuuxx医用高等数学习题解答（第1,2,3,6章） - 32 -
=22?102?1???u?1??22222211111?2?1??1??1???????????2??u????????ln?u????u??????u?????d?u??=22?22?2??2??2??2??2??2??2??2????2222???1111111???????????????????ln?????????2?2??2????4?2??2?8?????? ???012222??1111111?????????=22????????ln?????????4?2??2?82?2??2??????? ??????12??11=22??ln22?22812???22?l??1?(y?)dx=?012??12?1??=1?1ln???=1?ln1?2
???222?2?1?????1011?1??1??1?21令x?u,x?u2??dx??????2?2u2?2u?1du=22??u?????d?u??
00dx?2uduxx?2??2??2?2221???????12du?sec2tdt211令u??tant22??? ?44sec3tdt，而?sec3xdx=
?41?secxtanx?lnsecx?tanx??C 21l?122?secxtanx?lnsecx?tanx?=
??422?(2?ln2?1)?(?2?ln2?1)
??2?1??1????=1?1ln1?2 22?ln?=
?2?1??22?2??????1t?a?kx t?a?kta?kx?kt=== akedxee?11?e0t?0?0ttt11?x?x131. y?edx=?e=??e?1?1?=1?e?1 ?01?0030. v???????32. 判别下列各广义积分的收敛性，如果收敛，则计算广义积分。
(1)
???? 11dx=?x43x3??=??0??? 1??1?3?1 (收敛) 3(2)
?? 1??dx=2x??? (发散)
1x1??(3)
???? 01??dxdxdx?1?1?==??? (发散)
x(lnx)2?0x(lnx)2? 1x(lnx)2lnx0lnx 1(4)
?? 012xedx=?e?x2?x2??=? 011(0?1)? (收敛) 22医用高等数学习题解答（第1,2,3,6章）
?? - 33 -
(5)
??? 011eax?asinbx?bcosbx?1?xaxesinxdx=?e?sinx?cosx?=?(0?1)?，??esinbxdx=?C 22a?b222 0?x(6)
??d(x?1)dx???===??arctanx?1???x2?2x?2???(x?1)2?1??2??????????? (收敛) ?2?(7)
?1xdx1?x20=?1?x210=?(0?1)?1 (收敛)
12(8)
?2012dxdxdx?1??1??==??????? (发散)
(1?x)2?0(1?x)2?1(1?x)2?1?x?0?1?x?1b33. 当k为何值时，积分
?adx (b?a)收敛或发散？
(x?a)k当k=1时，
?bab? ? , 1?k?0bdxbdx1?1?k?ln(x?a)a??，当k?1时，?， ?(x?a)=?11?kka??b?a , 1?k?0x?a(x?a)1?ka??1?k??ba?11?kdx??b?a? , k?1，收敛=?1?k
(x?a)k? ? , k?1，发散?第六章 常微分方程习题题解(P186)
一、判断题题解
1. 错。应该是：微分方程通解中独立任意常数的个数由微分方程的阶所确定。 2. 错。有三个变量z, x, y。 3. 错。不管C取何值y??1都不为0。 x?C4. 错。如y?Cx是y???0的解，但它既不是通解也不是特解。 5. 错。它只有一个独立的任意常数。 6. 正确。它的通解为：y?sin(x?C)，当x?C??时，y?1 2??p(x)y1??C2?y2??p(x)y2??0 7. 正确。(C1y1?C2y2)??p(x)(C1y1?C2y2)?C1?y18. 错。y1,y2必须是两个线性无关的解。 二、选择题题解
医用高等数学习题解答（第1,2,3,6章） - 34 -
1. 在选项(A)中有y。 2. 在选项(B)中有y。
?1
2?dx?2?3. 通解为：y?ex??xe??4. (B)是一阶微分方程 5. 将(C)代入满足方程
1?1dxx?lnx2?lnx?12?=e?xe=x?x?C?，(B) dx?C?dx?C??2??????p(x)y1??C2?y2??p(x)y2??0 6. 在选项(C)中，将C1y1?C2y2代入y??p(x)y?0后，有C1?y1??C1?C2?Q(x)?0，而Q(x)?0?C1?C2?0 7. 在选项(A)中，对x求导数：y??xxyxyxy=== 3546262662y?3Cy2y?3Cy2x?Cy?3Cy2x?Cy??=
xyxy=。
2x2?x2?y43x2?y4??三、填空题题解
21. 特征方程为：r?2r?3?0，特征根为：r??1,3，通解为：y?C1e?x?C2e3x。
2. y?e??cosxdx?e?sinxe?cosxdxdx?C?=e?sinxe?sinxesinxdx?C=e?sinx?x?C? ?????????xx?xx23. 特征方程为：r?1?0，特征根为：r??1，通解为：y?C1e?C2e，y???C1e?C2e。该曲线过
(0,0)点，且切线斜率为1，有：0?C1?C2，y?x?0??C1?C2?1，得：C1??,C2?四、解答题题解
121x1?x1，y?e?e。 222yax2?bx?ax?2ax?b?y? 1. y?ax?bx，y??2ax?b，?ax?xx22. 求下列一阶微分方程的通解或特解。
2x?yy2xy(1) y??e，edy?edx?e?12xe?C 2xxx(2) edx?dx?sin2ydy，(e?1)dx?sin2ydy?cos2y??2(e?x)?C
22(3) (4x?xy)dx?(y?xy)dy?0，
yx112222ln(4?y)(1?x)?C dy??dx??ln(4?y)??ln(1?x)?C1224?y1?x22医用高等数学习题解答（第1,2,3,6章） - 35 -
(4)
1dydy??dx?ln3y?8??x?C1?ln3y?8??3x?3C1?(3y?8)e3x?C ?3y?8，
3y?83dx323dyyy3ydydudu??3，令?u,y?xu,(5) xdy?(yx?y)dx?0，?u?x?u?x?u?u3 dxxxxdxdxdx?
dudx1?2????u??lnx?C1?u?2?2lnx?2C1?x2?y2lnx2?C 3ux2dyydyyydudxydydudu? ?yln，?ln，令?u,y?xu,?u?x?u?x?ulnu?
u(lnu?1)xdxxdxdxdxxdxxxlnu?1?C?u?eCx?1?y?xe1?Cx x(6) x?lnlnu?1?lnx?C1?(7)
dy11dzdydzzdz??1，令z?2x?y?1,?2?，?2??1??dx?z?ln1?z?x?C1 dx2x?y?1zdxdxdx1?zx?y?2x?y?1?ln2x?y?2?x?C1?2x?y?2?Ce(8)
dy1dz1dzdy1??1, 令z?x?y,?1?, 1???1?zdz??dx?z2??x?C1?(x?y)2??2x?C dxx?ydxdxdxz222??dx??dx?dydy2322x? ?2y?xcos4x，?y?xcos4x，y?ex?(9) xxcos4xedx?C???dxdxx??=elnx2??xcos4xe2lnx?2?1?dx?C=x2?cos4xdx?C=x2?sin4x?C?
?4????11??dx?lnx?1?lnx?dx?xdy111?x?x?dx?0，?y?eedx?C(10) xdy?ydx?，y?e=edx?C?? ?lnx??lnx?lnxdxxlnx????=x?1??dx?C?=x?lnlnx?C? ??xlnx?(11) y??xyydydudu1dx?,yx?1?2，令?u,y?xu, ?u?x?u?x?u??udu?yxxxdxdxdxuy2y21222?u?lnx?C1?2?lnx?C，由初始条件得：C?4。2?lnx?4
xx2(12) xy??1?4e,yx??2?ydydxeydydxyy(4?e)x?C ??????ln4?e?lnx?C?0，?y1yx4e?1x4?ey0由初始条件得：C??2(4?e)??6。(e?4)x?6