医用高等数学习题解答（第1,2,3,6章） - 36 -
11??dx?ex?dx??lnx?exlnx?11xxxx??edx?C?=e??edx?C? (13) xy??y?e?0,yx?1?3e，y??y?e，y?e?x??x?xx????=
1x??edx?C?=1?exxx?C，由初始条件得：C?2e。y??1xe?2e x??(14)
dy??ytanx?secx,yx?0?，y?e?tanxdx?secxe??tanxdxdx?C=e?lncosx?secxelncosxdx?C dx2????=
1???11?y?x???=，由初始条件得：。secxcosxdx?Cx?CC???
cosx?2?cosx?cosx2??3. 求下列特殊的二阶微分方程的通解或特解。
x(1) y???xe，y??xexdx?C1=xdex?C1=xex?exdx?C1=xe?e?C1?e(x?1)?C1
???xxxy??ex(x?1)?C1dx?C2=?(x?1)dex?C1x?C2=(x?1)ex??exdx?C1x?C2=(x?2)ex?C1x?C2
(2) y???1?y?，令y??p,y???p?，p??1?p，
??dp?dx?ln1?p?x?A?p?C1ex?1 1?py??C1ex?1dx?C2=C1ex?x?C2
?2dx(3) y???2y??4x，令y??p,y???p?，p??2p?4x，p?e?????4xe?2dxdx?C1=e?2x?4xe2xdx?C1
???=e?2x??2xd(e?2x)?C1=e?2x2xe2x??e2xd(2x)?C1=e?2x?2xe2x?e2x?C1?=2x?1?C1e?2x
???y??2x?1?C1e?2xdx?C2=x2?x?C1e?2x?C2
33dx???dx?3lnx?32?3lnxx?x?=e????????(4) xy?3y?x，令y?p,y?p，p?p?x，p?exedx?Cxedx?C1 1????x?????=x3??x?21?1?dx?C1=x3???C1?=C1x3?x2，y??C1x3?x2dx?C2=C1x4?x3?C2
3?x????(5) y???1?(y?)，令y??p,y???p?，p??1?p，
22dp?dx?arctanp?x?C1，p?tan(x?C1) 21?py??tan(x?C1)dx?C2=?lncos(x?C1)?C2
(6) y???1dpdp1dy121?2????0y?p,y?pp??pdp??，令，??p?y?C1?p?333dyydyyy221?C1 2yydy1?C1y2?dx?
11?C1y2?x?C2?1?C1y2?C1x?C2?1?C1y2?(C1x?C2)2 C1(7) 1?yy???y?2?0,yx?0?1,y?x?0?0，令y??p,y???pdppdpdydp?p2?0???，1?yp
dydy1?p2y医用高等数学习题解答（第1,2,3,6章） - 37 -
?ln1?p??lny?C1?1?p?21222C1，由初始条件得：C1?1，p?2y22ydy1??dx ?122y1?y2??1?y2?x?C2?1?y?(x?C2)，由初始条件得：C2?0，x?y?1
2(8) (1?x2)y???2xy?,yx?0?0,y?x?0?1，令y??p,y???p?，(1?x)p??2xp?
dp2xd ?p1?x22?lnp?ln1?x2?C1?p?C1(1?x)，由y?x?0?1得：C1?1，y?(1?x2)dx?C2=x??13x?C2， 3由yx?0?0得：C2?0，y?x?13x 34. 求下列二阶常系数线性齐次微分方程的通解或特解。
?x3x2(1) y???2y??3y?0，特征方程：r?2r?3?0，特征根：r1,2??1,3。通解：y?C1e?C2e。 ?xr2?2r?3?0，(2) y???2y??3y?0，特征方程：特征根：通解：y?eC1cos2x?C2sin2x。 r1,2??1?2i。
??x32???(3) 4y?12y?9y?0，特征方程：4r?12r?9?0，特征根：r1,2?。通解：y??C1?C2x?e。
2322(4) y???y??0，特征方程：r?r?0，特征根：r1,2??1,0。通解：y?C1e?x?C2。
(5) y???3y??4y?0,yx?0?1,y?x?0?0，特征方程：r?3r?4?0，特征根：r1,2??1,4。 通解：y?C1e特解：y??x2?C2e4x，y???C1e?x?4C2e4x，由yx?0?1,y?x?0?0，得：C1?41,C2? 554?x14xe?e。 552(6) y???8y??16y?0,yx?0?2,y?x?0?5，特征方程：r?8r?16?0，特征根：r1,2?4。 通解：y??C1?C2x?e，y??C2e4x4x?4?C1?C2x?e4x，由yx?0?2,y?x?0?5，得：C1?2,C2??3
特解：y??2?3x?e。
4x(7) 4y???9y?0,yx?0?2,y?x?0?通解：y?C1cosx?C2sinx，y??特解：y?2cosx?sin332，特征方程：4r?9?0，特征根：r1,2??i。
223?33?3??C1sinx?C2cosx?，由yx?0?2,y?x?0?，得：C1?2,C2?1 2?22?23232323x 25. 设t小时细菌数为N(t)，依题意可建立微分方程：
dN?kN，其中k为比例系数。解之得N?Cekt，不dt2kln2妨设N(0)?N0，则C?N0，从而有N?N0e，由已知条件2N0?N0e，得k?，那么3N0?N0e2ktln2t2，
医用高等数学习题解答（第1,2,3,6章） - 38 -
t?2ln3?3.17小时。 ln2dM?kM。解之得M?Cekt，?M(0)?m0，有C?m0，dtln26. 设第t天32P的乘余量为M(t)，依题意得：
?tm01ln214.3k14.3又?M(14.3)?，?m0?m0e，得：k??，故：M?m0e。
2214.37. 设t分钟时过氧化氢的浓度为A(t)摩尔/米，依题意有：
3dA?kA，解之得A?Cekt，dt0.16510.165?0.276?Ce10k10k，，e?k?ln??0.05，?A(10)?0.276, A(20)?0.165，代入上式有：?20k0.165?Ce0.276100.276?0.2760.2762C?10k??0.46，A?0.46e?0.05t。
e0.165dT??2(T?15)，则T?15?Ce?2t，由T(0)?37，得dtln2?0.347小时。 C?22，?T?15?22e?2t，当T?26时，由26?15?22e?2t，得t?2d?kt?M?Q(t)?dQ9. 设输入葡萄糖t分钟后，血液中葡萄糖含量为Q(t)，依题意有：?aQ(t)，即?aQ?k，
dtdt8. 设死亡后t小时尸体的温度为T(t)，依题意有：解之得：Q?k?k?kk?Q???M??e?at，由初始条件：Q(0)?M代入上式得C?M?，显然当t????Ce?at，
a?a?aat???时，e?at?0 ，有limQ?k。 adM?kM，解dt10. 设t年后14C的含量为M(t)，由物理学知：放射性元素的衰减速度与当时的量成正比。有
ktkt之得M?Ce，假定M(0)?M0，则C?M0 , M?M0e，当t=1时，M?M0?M0?0.999875M0，8000tt由此得到M?M00.999875?0.999875?Mln0.0624?6.24%，t??22192.13，故此人大约死M0ln0.999875于22193年前。
第四章多元函数微分学补充习题
1. 一动点M(x,y,z)距点P1(2,?3,4)的距离等于距点P2(?1,?3, 6)的距离的4倍，求这动点的轨迹方程。
2. 求中心在点 (2,?3,?1)，半径为2的球面方程。
3. 求球面方程x2+y2+z2?2x?4y?4z?7=0的中心坐标和半径。 4. 球的中心在点(2,?1,3),球面通过点(5,0,?1),求这球面方程。 5. 求柱面4x2+9y2=36与各坐标轴的交点。 6. 下列各方程在空间各表示什么样的图形？
(1) z??5
(2) y?7
医用高等数学习题解答（第1,2,3,6章） - 39 -
(3) x?0
(4) 2x?7y?0 (6) x2?y2??1 (8) x2?y2?25
(5) x?y?1
(7) x2?y2?z2?16 (9) y2?2x?0
222 (10) x?y?0
?x?y?z?25 (11) ?22?x?y?9?x2y2?(12) ?9?4?1
??z?6题解
1. 由题意知: |MP1|=4|MP2|
(x?2)2?(y?3)2?(z?4)2?4(x?1)2?(y?3)2?(z?6)2
2. 设球面上任意一点的坐标为(x,y,z) ,则：
(x?2)2?(y?3)2?(z?1)2?2
2223. 配方后得：(x?1)?(y?2)?(z?2)?16,中心为(1,2,2),半径为4。
22224. 设球面上任意一点的坐标为(x,y,z) ,半径为R, 则：(x?2)?(y?1)?(z?3)?R
又球面通过点(5,0,?1),则：(5?2)2?(0?1)2?(?1?3)2?R2?R2?26，?(x?2)2?(y?1)2?(z?3)2?26 5. 与x轴交点为(3,0,0), (?3,0,0)与y轴交点为(0,2,0), (0,?2,0)与z轴无交点。
6. (1)与xoy平面平行且与z轴相交于?5的平面。(2)与xoz平面平行且与y轴相交于7的平面。(3)是xoz平面。(4)过原点且与z轴平行的平面。(5)与x轴相交于1, 与y轴相交于1, 且与z轴平行的平面。(6)平行于z轴的双曲柱面。(7)半径为4的球面。(8)半径为5且平行于z轴的柱面。(9)平行于z轴的抛物柱面。(10)过原点且与z轴平行的平面。(11)在z=?4的两个平面上分别有一个半径为3的圆，是两条曲线。(12)是z=6平面上的双曲线。
第四章多元函数微分学习题题解(P139)
一、判断题题解
1. 邻域内(x?x0)?(y?y0)?? 2. 任一路径 3. 定义域不同 4. 正确 5. limy?x?0y?k22sin(xy)?k?1?k xyx2?y2116. 设x?, y?, f(x,y)?
2xyuv医用高等数学习题解答（第1,2,3,6章）
22 - 40 -
22?1??1?u?v?????2211u2?v2???u??v?uv, ? f(x,y)?f?,????2112uv???uv?2???uv?uv??11?f??x,y?? ??7. 去掉(0,0)的xoy平面。
8. x2+y2?1 二、选择题题解 1. 有理化分母
xy?xy?1?1 (D)
xy?1?1xx2?y2x2?y2?x?z?2. ?x3. 画出草图(C)
y2yx2?y2x2?y2?2?? (C) 222x?yyx?yx2?y2x21?2x?y2yx2?yy?x2?4x?y2?0?22222224. ?1?x?y?1?y?4x,x?y?0,x?y?1 (B)
?1?x2?y2?0?5. u?x?(1,1)y?x??21212?xyx?xy?xy?e?e?5??2xy?y?e ?x?22?oy?xx?u?xy???12x??2xy?y?e??2x?y (B) ?y?2?22?6. 求驻点z? (D) x?3?3x?0,zy?3?3y?0?x??1,y??1227. z?; y?0,2 (B) x?3x?6x?9?3(x?3)(x?1), z?y??3y?6y??3y(y?2)?x??3,18. (A)定义域不同；(B)定义域不同；(C)定义域不同，对应规律也不同；(D)相等。 三、填空题题解
???1. zuv1?, z?, ut??et, vt???2e2t v2uu1?e2tt1vt12t??ut??zv??vt???2?e??(?2e)??2t?e?t?(?2e2t)??(et?e?t) zt??zueeuu?2. 将x看作常数,对y求偏导数z?y?xy22??xyy?x22
?x?1???y????