医用高数课后习题答案(6)

医用高等数学习题解答（第1,2,3,6章） - 26 -

(11)

?a2?1a2a2?a?xdx?????a?cosudu=??1?cos2u?du=?u?sin2u??C=?u?sinucosu??C

dx?acosudu2?222?22令x?asinu2222a2?xxa?x=?arcsin??2?aaa?2?a??C=arcsinx?x?a2?x2?C

?2a2?(12)

22x(arcsinx)??x?2arcsinx?=(arcsinx)dx?dx1?x2=x(arcsinx)?2arcsinxd(1?x)

2?2=x(arcsinx)2?2?1?x2arcsinx?????1?x2??=x(arcsinx)2?21?x2arcsinx?x?C ?1?x2?dx??(13)

cosxln(sinx)2dx?cotxln(sinx)?cotx?dx===?ln(sinx)d(cotx)?cotxln(sinx)?cscx?1dx ?sin2x???sinx??=??cotxln(sinx)?cotx?x??C (14)

2?xcosxdx=?1?cos2x1111xdx=x2??xd(sin2x)=x2?xsin2x??sin2xdx 24444??=

121?1?x??xsin2x?cos2x??C 44?2?7. 求下列不定积分

令x?1?ux11x?1u?2?1?2?2?3???C??C dx?u?u?C(1) ?====du????u?2udu?dx?du?u3x?1(x?1)2(x?1)2(x?1)3??(2)

1?3x?2?2?dx=2lnx?lnx?1?C=lnx2x?1?C dx=??x(x?1)??xx?1????(3)

1?1?x?2?11?1?(2x?1)?3???dx== dxlnx?1?????2?dx???x3?13??x?1x2?x?1?3??2?x?x?1?????1????dx????x?11?1313?1?2?2?dx?=?ln? =?lnx?1?ln?x?x?1???2??2223?22x?x?1?3?2x?x?11??3??????x????????2??2???????1?ln=3???(4)

1?x??x?1312??C=1??ln??arctan23?3?x?x?123??22?x?1x2?x?1?3arctan2x?1???C 3????2xx?33323?2ln??C dx???2lnx?2?2lnx?3??C===??dx2??(x?2)(x?3)2??x?2x?3x?3?x?2x?3(x?3)?医用高等数学习题解答（第1,2,3,6章） - 27 -

xdx1?xx?1?x2?1?122??(5) ?2=??dx=ln(x?1)?ln(x?4)?C=ln?2??C (x?1)(x2?4)3??x2?1x2?4?66?x?4?????12x?21d(x2?1)dxd(x2?1)x?12x???2??2dx=??(6) ? ?2?22?dx=lnx?1??2222??2x?1x?1(x?1)(x?1)(x?1)?x?1x?1(x?1)?=lnx?1?x?1111ln(x2?1)?arctanx?2?C=ln?arctanx?2?C

22x?1x?1x?18. 求下列不定积分 (1)

dx1?sinx2==dxsec?1?sinx?1?sin2x?x?tanxsecxdx=tanx?secx?C

???ex?dx?dx=x?ln(1?ex)?C (2) ?=??1?xx??1?e?1?e?(3)

1?cosx?sinx?dxcosxdx1cosx?sinx?cosx?sinx===dx?1??dx ??1?tanx?cosx?sinx2?2?cosx?sinx?cosx?sinx=

1?d(cosx?sinx)?1?x???=?x?lncosx?sinx??C 2?cosx?sinx?2(4)

?a?xa?xxdx=?dx=a?arcsin?a2?x2?C a?xaa2?x2(5)

1?11?dx?dx1?1x?1?dx===ln?arctanx??????C ?x4?1?(x2?1)(x2?1)2??x2?1x2?1?2?2x?1??dxx2?1令x?1u(6)

?x??????idx??u2?du1?u2=arccosu?C=arccos?C

du1x9. 将区间[T0,T1]细分为n个小区间，在每个小区间[ti?1,ti]上任取一点?i,(i?1,2,?,n)，由于小区间的长度?ti?ti?ti?1很小，可以近似地认为放射性物质在[ti?1,ti]内是以速度v(?i)均匀分解。 (1) 分解质量的近似值为：

?v(?)?t

iii?1n(2) 分解质量的精确值为：lim12??0?v(?)?t，??max{?t,?t,?,?t}

ii12nni?110. 用定义计算

?xdx。y?x在[0,1]上连续，?定积分存在。故可将[0,1]区间n等份：

2

00?x0

nnn医用高等数学习题解答（第1,2,3,6章）

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1n21?1??1?11n(2n?1)(n?1)?i?1?limi?lim??2???1??? ?lim?xdx?limf(?)?x?lim?????ii3?3?0n??n??n????0n??ni?16?n??n?3n6i?1i?1?n?n12nn11. (1)是一个底边长为1高为2的三角形，面积为1。 (2)奇函数在对称区间上，定积分为0。

(3)偶函数在对称区间上，定积分为2倍的正的区间上的定积分。 12. (1)在[0,1]区间上x?x，由定积分性质知：

232?xdx??xdx。

001312(2)在[1,2]区间上(lnx)?lnx，由定积分性质知：

2?2 1(lnx)2dx??lnxdx。

1213. (1) 在[1,4]区间上2?x?1?17，由定积分性质知：6?(2) 在[0,1]区间上e?x2?4 1(x2?1)dx?51。

?112是一个单调递减函数，有1?e?x2?e，由定积分性质知：e??e?xdx?1。

?105???5??4221?1?sinx?2??(1?sinx)dx?2?。 (3) 在?,区间上，由定积分性质知：???444??14. 由积分上限函数的定理3知y??sinx，y?x?0?0，y?x???41。 215. 求下列函数的导数。

?xtx??(1) ??5edt?=5e ?0???2x22????(2) ??1?tdt?=???1?tdt?=?1?x2

?x??2??x2?1??222222(3) ??sintdt?=sin(x?1)(x?1)?=2xsin(x?1)

? 0????23x3xx?x31??a1???111?=??2??(4) ??2=dtdt?dt?dt?dt????x??x??? a? 44444 a a1?t??1?t1?t1?t1?t????=?11?x8(x)??211?x12(x)?=?32x1?x8?3x21?x12

16. 求下列极限。

1arctantdt2arctanx1?01?x(1) lim=== limlim2x?0x?0x?0x2x22x医用高等数学习题解答（第1,2,3,6章） - 29 -

?x2?x?11(2) limx=lim=lim=lim=?

x?0x(x?sinx)x?0x?0x?sinxx?01?cosx2t(t?sint)dt?x0?0t2dt17. F(x)??t?x?x2te?0dt，F?(x)?xe，F??(x)?e(1?2x)，令F?(x)?0，得驻点：x?0,F??(0)?1?0x222有极小值，F(0)?0。 18. 计算下列定积分。

(1)

?9 41?231??231??231?x(1?x)dx=?x2?x2?=?92?92???42?42?=45

2??32?62?4?3?339(2)

1? 131?x2dx=arctanx?313=

?3??6??6

?(3)

??2 0211sin?cos3?d?=??2cos3?d(cos?)=?cos4?=

0440???34 02?4 0?4 0(4)

4 0tan?d?=?(sec??1)tan?d?=?tan?d(tan?)???1?42tan?d?=?tan??lncos??

?2?0?=

111?ln=(1?ln2) 222(5) (6)

?2?? 0xcosxdx=?xd(sinx)=xsinx0??sinxdx=cosx0??1?1??2

0 0??????2 0ecosxdx=?cosxd(e)=ecosx??esinxdx=?1??sinxd(e)=?1?esinx??2excosxdx

x?2xx 0?20?2x?2xx 0 0?20? 01??2?=e?1??ecosxdx, ??ecosxdx??e?1?

0 0?2?e?1e?1xe?1e?1(7) ?ln(x?1)dx=xln(x?1) 0??dx=e?1??x?ln(x?1)? 0=1

0 0x?1?2x?2x??????13?1?x3333??ln ??????lnsinxdx?xd(cotx)?xcotx?cotxdx(8) ??====??2????44332233444sinx44?3(9)

?2dx(3?x)4 15=??(3?x) 12?45d(3?x)=?5(3?x)12515=?5(1?52)=5(2?1)

e131?lnxdx=?(1?lnx)d(1?lnx)=(1?lnx)2? (10) ? 1 1x221ee(11)

?2? 0sinxdx=?sinxdx??sinxdx=?cosx0?cosx ??4=

0 ??2??2?医用高等数学习题解答（第1,2,3,6章）

1 - 30 -

(12)

? 1?1令5?4x?u1x1 15?u1?23?1dx???????dx=??10u2?u2?=

?4dx?du16 9u16?35?4x?961?ex?12ex1????x?ln(1?e)(13) ?=== 1?dxdx1?ln(1?e)?(?ln2)?lnx?? 0?0 01?ex1?e?1?e?1(14)

?1 0(1?x)dx???????dx?cosudu23令x?sinu?2 0?11??1?cos2u?2?3?cos2u?cos4u=ducosudu=????du ?? 0 082?82???4?22=?u?2?3?811?23?sin2u?sin4u?= 432?016?(15)

?dxx?1?(x?1)3令x?asinu令x?1?u,x?1?u2dx?2udu 0??????????2du?3??2arctanu== 1 11?u2634a4?22a4?21?cos4ua4?1?2?a2222422du=?u?sin4u?=(16) ?xa?xdx?????a?sinucosudu=?sin2udu=?

0 0dx?acosudu4 04 02168?4? 0a?19. 证明： (1)

??? ? ?coskxsinlxdx=?1?sin(l?k)x?sin(l?k)x?dx=0，奇函数在对称区间上的定积分为0。 ??2 ? ?1?111??sin(k?l)x?sin(k?l)x?=0 cos(k?l)x?cos(k?l)x?dx=?(2) ?coskxcoslxdx=?????22?k?lk?l???11?11?sin(k?l)x?sin(k?l)x?=0 (3) ?sinkxsinlxdx=???cos(k?l)x?cos(k?l)x?dx=?????22?k?lk?l??? ? ? ? ?20.

?a?T af(x)dx=?f(x)dx??f(x)dx??a00Ta?T Tf(x)dx

0a?T?a?T Tf(x)dx??????f(u?T)du=?f(u)du=??f(x)dx，??dx?du00a令x?u?Taa af(x)dx=?f(x)dx。

0T21. 由万有引力定律，火箭与地心距离为r时，地球对火箭的引力是F?GMm。将火箭送至离地面高为H2r处所做的功为：W??R?H RF(r)dr=GMm?R?H R11??1??1GMm?GMm?==dr??，在地球表面引??2RR?Hrr???? RR?H力就是重力，即：

1?GMm2?12W?mgR??mg?GMm?mgR， ??。 2RR?HR??101?11?cos2?t?dt=?t?sin2?t?=5。 22. Q??sin?tdt=? 0 022?2? 0102104?1423122?kb23. Q??kt(t?b)dt=k?(t?2bt?bt)dt=k?t?bt?bt?=。

0 012432??0b2b322b