医用高等数学习题解答（第1,2,3,6章） - 11 -
上所述，当x?0时，有
x?ln(1?x)?x。 1?xxxx(3) 设f(x)?e?1?x，则f?(x)?e?1，当x?0时,f?(x)?0，有f(x)?f(0)，即e?1?x?0；当x?0时,f?(x)?0，有f(x)?f(0)，即e?1?x?0；综上所述e?1?x (x?0)。 15. 求下列函数的极限。
xx?5sin5xln(cos5x)55sin5x2xcos2x25(1) lim=limcos5x=lim?= ??x?0ln(cos2x)x?0x?0?2sin2x225xsin2xcos5x4cos2xqlnq?1xq(q?1)lnq?2xq(q?1)?(q?n?1)lnq?nxlnqx(2) lim?xlnx?lim??p=lim?=lim?=…=lim?=0 ?px?0?pxx?0x?0x?0x?0x(?p)2x?p(?p)nx?ppq(分子和分母分别求n阶导数，使n>q) (3) lim?xsinx?lim?esinxlnx?ex?0x?0x?0limsinxlnx?=e?1
01sin2x2sinxcosxlnxx=lim?=lim?=lim??0 lim?sinxlnx?lim?x?0cosx?xsinxx?0x?01x?0?cosxx?0xcosxsinxsin2x(4) limxx?111?x?limex?11x2lnx1?x?elimlnxx?11?x=e11lim?x?1x(?1)=e
xxcosx?sinx?x2limsinxx?02xxcosx?sinxx?02x2sinxlim?1
?sinx?(5) lim??x?0?x??limex?01sinxlnxx2ln=ex?0limsinxxx2=e=e=e?16?1 6e?limx?0?cosx?sinxxcosx?sinxcosx?xsinx?cosx1limlim==== lim?x?04cosx?2(cosx?xsinx)x?04sinx?2xcosxx?04xsinx?2x2cosx2x2sinx61lnx(6) lim?(cotx)x?0?lim?ex?0lncotxlnx?elncotxx?0?lnxlim=e?xx?0?sinxcosxlim?e?1
16. 证明下列不等式。
(1) 令f(x)?sinx?x,因为f ?(x)?cosx?1?0 (x?0), 所以当x?0时f(x)↘, f(x)?f(0)?0 ? sinx?x ；
令g(x)?sinx?x?x/6, 则：g?(x)?cosx?1?x/2，g??(x) ? ? sinx?x, g???(x)= ? cosx?1?0 (x?0), 有g??(x)↗ ?g??(x) ?g??(0)?0?g?(x)↘, g?(x)?g?(0)?0?g(x)↗?g(x)? g(0)?0 ? sinx?x?x3/6。综上所述： x?sinx?x?x3/6
pp(2) 令f(x)?x?(1?x), f(x)在[0,1]连续且f(0)?f(1)?1，f ?(x)? p?xp?1?(1?x)p?1?,令f ?(x)?0得x=1/2为驻点。
32医用高等数学习题解答（第1,2,3,6章）
pp - 12 -
111?1??1??1?ppf ??(x)?p(p?1)?x?(1?x)??0,有极小值f?????????p?1，?p?1?f(x)?1?p?1?x?(1?x)?1
22?2??2??2?2p?2
p?2
17. 确定下列函数的单调区间。
223(1) y?x?6x，定义域(??,+?)，y??3x?6?3(x?2)，令y??0，解得x??2，增减性如下表：
x (??,?2) ?2 (?2,2) y? y + ↗ 0 ? ↘ 2 (2,+?) 0 + ↗ (2) y?x?sinx，定义域(??,+?)，y??1?cosx?0，令y??0，解得x?(2k?1)?,k?0,?1,?2,?，均是孤立驻点，故在(??,+?)单调递增。
322 (3) y?2x?3x?12x?7，定义域(??,+?)，y??6x?6x?12
x (??,?1) ?1 (?1,2) 2 (2,+?) y? y + ↗ 0 ? ↘ 0 0 极小值 y ↘ 为0 ↗ (e,+?) + ?10 + ↗ (0,+?) + =3(x?2)(x?1)，令y??0，解得x??1,2，增减性如右表： 18. 求下列函数的极值。
(1) y?x?ln(1?x)，定义域(?1,+?)，y??1?x (?1,0) 1x=，令y??0，解得1?x1?xy? ? x?0，极值见右表：
(2) y?xlnx，定义域(0,+?)，y??lnx1lnx?2=， ?2x2xxx (0,e?2) y? y ? ↘ e?2 0 极小值为?2e ?2令y??0，解得x?e，极值见如右表： (3) y?x??2↗ 112，定义域(??,0)∪(0,+?)，y??1?2，y???3，令y??0，解得x??1，y??(?1)??2?0有极xxx大值y(?1)??2，y??(1)?2?0有极小值y(1)?2。 19. 求下列函数在所给区间内的最大值和最小值。 (1) f(x)?5?4x是[?1,1]上的连续函数，f?(x)??2?0减函数且无驻点，但有一个不可导点
5?4xx?5?1，它不在[?1,1]上，故fmax(?1)?3，fmin(1)?1。 42??(x2?3x?2) , 1?x?2(2) f(x)?x?3x?2是[?10,10]上的连续函数，此函数可用分段函数表示f(x)??2，
x?3x?2 , 其它?医用高等数学习题解答（第1,2,3,6章） - 13 -
313??2x?3 , 1?x?2f?(x)??2，令f?(x)?0，得：x?，f(1)?f(2)?0，f()?，f(?10)?132，f(10)?72，
242?2x?3 , x?1或x?2比较得：fmax?132，fmin?0。 (3) f(x)?2x?2?22?x , x?2是[?5,5]上的连续函数，此函数可用分段函数表示f(x)??x?2，分段点为x?2，
2 , x?2???22?xln2 , x?273f(2)?1，f?(x)??x?2，无驻点。f(?5)?2，f(5)?2，比较得：fmax?128，fmin?1。
?2ln2 , x?2?20. y?ax?bx，y??3ax?2bx，y???6ax?2b，因为(1,3)为曲线的拐点，所以有?3226a?2b?0，32a?1?b?1?3?解之得：a??39，b?。 222(x?1)(x2?4x?1)?x2?2x?1x?121. y?2，y??，y???，令y???0，解得x1??1，x2,3?2?3，2322(x?1)(x?1)x?1y1??1，y2,3??1?3?1?3???1?3?????是曲线的三个拐点。下面论?，可验证(?1,?1),2?3,,?2?3,??44??4???证此三点在一条直线上。只要证明过任意两点的直线的斜率相同即可。
?1?33?3?1?33?3?1?1y?y1y?y144k1?21??4?，k2?31??4?，k1?k2得证。 x2?x1x3?x12?3?13?342?3?13?34?kt22. w?bew?w0(1?b)，w?w0(1?b)?kt?kt两端对t求导数：w??b(?kew?ew?)?0 ?kt1?bebke?ktwbkw0(1?b)e?kt??w?? ?kt?kt21?be(1?be)222223．设R?R0?dR?0.02?0.2t，v?R?r?(0.02?0.2t)?r，
dv?2(0.02?0.2t)?0.2?(0.008?0.08t)cm/min2。 dt24. (1)求出现浓度最大值的时刻：C(t)?122(e?0.18t?e?t),C?(t)?122(?0.18e?0.18t?e?t),令C?(t)?0，解
?ln0.180.82?0.18??ln0.18?ln0.1822?0.18t?t????C(t)?122(0.18e?e)C()?122(0.18et?得唯一驻点。，
0.820.829ln0.184150ln0.1841941504191415041?e??ln0.180.82)
=122(0.18e2?e)=122(0.18?0.18?0.18)=122(0.18?0.18)?0有极大值。也为最大值。
2(2)求出现浓度变化率最小值的时刻：令C??(t)?0，解得唯一驻点t??ln0.18。 0.41医用高等数学习题解答（第1,2,3,6章） - 14 -
C???(t)?122(?0.18e1004133?0.18t?0.18??ln0.18?e),C???()?122(?0.183e0.41?t18411004114141?ln0.180.41?e? ?ln0.180.41)=122(e100ln0.1841?0.18e318ln0.1841)
=122(0.18?0.18?0.18)=122(0.18?0.18)?0有极小值。也为最小值。
25. 求w?何时达最大值。lnw?ln(341.5?w)?k(t?1.66)?w?341.5…①， k(1.66?t)1?e1?1k?w???w??k?w??(341.5w?w2)…②，
341.5w341.5?wk?341.5w??2w?w???k?341.5?2w?w?，令w???0，得：w??0,w?341.5。 w???341.5341.52由w??0?(341.5?w)w?0，而w?0?w=341.5，由①得e由w?k(1.66?t)?0无解。
k341.5k(1.66?t)341.5w???2(w?)2?2w?w??， ?1，得：t?1.66是唯一驻点。w?????e341.52341.5341.5当t?1.66时，w?，w??k，w???0，w????0有极大值。也为最大值。
24??26. 讨论下列函数的凹凸性和拐点
a2(a?0)，定义域(??,+?)，(1) y?22a?x2a2(3x2?a2)?2a2xy??2，y???，令22(a2?x2)3(a?x)a3
，y?，列表讨论。 y???0，得x??43x (??,?+ aaaa) ?,) (?33330 拐点 3/4 ? aa,??) (330 拐点 3/4 + y?? y 凹 凸 凹 (2) y?x?sinx,定义域(??,+?),y??1?cosx,y????sinx,令y???0,得x?k?,(k?0,?1,?2,?),当
x??(2k?1)?,2k??时,y???0,曲线是凹的。当x??2k?,(2k?1)??时,y???0,曲线是凸的。拐点为：
?k?,k??。
27. 讨论下列函数的单调性、极值、凹凸性、拐点和渐进线，并画出它们的大致图形。 (1) y?e?x，定义域(??,+?)，是偶函数，limex??2?x2?0，有水平渐进线y?0，y???2xe?x，
2y????2[e?x?xe?x(?2x)]?e?x(2x2?1)
x 222(??,?+ 111 (?,0) 0 ) ?222+ + 0 (0,1) 2? 11 (,??) 22? ? yy?e?x2y? ox医用高等数学习题解答（第1,2,3,6章） - 15 -
y?? + 0 拐 点 ? 0 极 大 ? 0 拐 点 + y (2) y?ln1?x1?x1?x，定义域(?1,1)，f(?x)??f(x)是奇函数，lim?ln??，lim?ln??有垂直渐进线
x?1x??11?x1?x1?x2无驻点，但当x??1时导数不存在。x??1，y??1?x21?xy???4x，令y???0，得x?0。
(1?x2)2x ?1 (?1,0) + ? 0 ? 0 拐点 0 (0,1) + + 1 无 无 yy?ln1?xy? 无 y?? 无 y ?1o1x 3(3) y?x?6x，定义域(??,+?)，是奇函数，无渐进线。y??3x?6，y???6x，令y??0，得驻点x??2，
2令y???0，得x?0，列表讨论。f(0)?0,f(?6)?0,f(?2)??22 x y22oy?x3?6x(??,?2) ?2 (?2,0) 0 + ? 0 ? 极 大 ? ? ? 0 拐 点 (0,2) ? + 2 (2,??) 0 + 极 小 + + y? y?? ?6?226x?22 y ex?e?xex?e?xex?e?x(4) y?，定义域(??,+?)，是偶函数，无渐进线。y??，y???，令y??0，得
222驻点x?0，而y???0，列表讨论。
x y(??,0) ? 0 0 (0,??) + ex?e?xy?2y? 1.5431?1o1x