武汉理工大学《信号与系统》考研资料
?ππ1cos(?t?)?(t)dt?cos(?)?(t)dt? ?0??0?332?(3) (4)
?0?0?e?3t?(?t)dt??e?3t?(t)dt???(t)dt?1
0?0?0?0?3给定系统微分方程y''(t)?3y'(t)?2y(t)?f'(t)?3f(t)，若激励信号和初始状态分别为
f(t)?u(t)，y(0?)?1，y'(0?)?2，试求系统的全响应，并指出其零输入响应、零状态
响应、自由响应、强迫响应各分量。 解：（1）求零输入响应yx(t)：
由已知条件有：
?yx\(t)?3yx'(t)?2yx(t)?0?''yx(0?)?yx(0?)?2 ??yx(0?)?yx(0?)?1? 特征方程： ??3??2?0
特征根为： ?1??1，?2??2
故可设零输入响应（齐次解）为：yx(t)?(C1e?t?C2e?2t),代入初始条件，并求解得C1?4，C2??3 故 yx(t)?(4e?t?3e?2t)u(t) （2）求零状态yf(t)： 依题意，可设齐次解 D1e?t2t?0
?D2e?2t,t?0，
3是方程的一个特解。 2又由于t?0时，f(t)?u(t)?1，易知
故零状态响应为：yf(t)?D1e?t3?D2e?2t?,t?0
2为了确定待定系数，将f(t)?u(t)代入原方程，有：
yf\(t)?3yf'(t)?2yf(t)??(t)?3u(t)
根据奇异函数匹配法，当0??t?0?时，可设：yf\(t)?a?(t)?bu(t)，则：
yf'(t)?au(t)，yf(t)?atu(t)?0
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代入方程，平衡两边相同项的系数得a?1,b?0
故 yf(0?)?yf(0?)?a?0?1?1，yf(0?)?yf(0?)?0 代入表达式，可解得：D1??2，D2?''1 2故 yf(t)?(?2e?t13?e?2t?)u(t) 22?t（3）全响应y(t)?yx(t)?yf(t)?(2e零输入响应为：(4e?t?3e?2t)u(t) 零状态响应为：(?2e?自由响应为：(2e?t?t53?e?2t?)u(t) ，其中： 221?2t3e?)u(t) 225?e?2t)u(t) 2强迫响应为：
3u(t) 24如图所示系统是由几个“子系统”组成，各子系统（积分器、单位延时器、倒相器）的冲激响应分别为：h1(t)?u(t)， h2(t)??(t?1)，h3(t)???(t)，试求整个系统的冲激响应h(t)。
h1(t)h2(t)h1(t)h3(t)
解：根据串、并联系统的特点，不难得到整个系统的冲激响应为：
h(t)?h1(t)?h2(t)*h1(t)*h3(t)?u(t)??(t?1)*u(t)*[??(t)] ?u(t)?u(t?1)5对图示信号，求f1( t ) * f2( t )。
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解 (a)先借用阶跃信号表示f1( t )和f2( t )，即
f1( t ) = 2?( t ) ? 2?( t ? 1 ) f2( t ) = ?( t ) ? ?( t ? 2 )
故
f1( t ) * f2( t ) = [2?( t ) ? 2?( t ? 1 )] * [?( t ) ? ?( t ? 2 )]
因为
t?( t ) * ?( t ) =
故有
?01d?= t?( t )
f1( t ) * f2( t ) = 2t?( t ) ? 2( t ? 1 )?( t ? 1 ) ?2( t ? 2 )?( t ? 2 ) + 2( t ? 3 )?( t ? 3 )
也可以用图形扫描法计算之。结果见下图（a）所示。
(b)根据? ( t )的特点，则
f1( t ) * f2( t ) = f1( t ) *[? ( t ) + ? ( t ? 2 ) + ? ( t + 2 )]
= f1( t ) + f1( t ? 2 ) + f1( t + 2 ) 结果见下图(b)所示。
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第三章 连续时间信号与系统的频域分析
【本章考点】
1、对信号进行傅立叶正反变换，并能绘制频谱图
F(j?)??????? （3-1） 1?j?tf(t)?F(j?)ed?????2??f(t)e?j?tdt2?，可以将f(t)展开成指数形T0?2、周期信号的傅里叶变换
设周期信号f(t)的周期为T0，则角频率?0?2?f0?式的傅里叶级数
f(t)?n?????Fnejn?0t (3-2)
将上式两边取傅里叶变换,可求出周期信号f(t)的傅里叶变换
F(j?)=?[f(t)]?2?3对系统频谱函数的求解
n????F?(??n?) （3-3)
n0?频率响应可定义为系统零状态响应的傅里叶变换Y(j?)与激励的傅里叶变换F(j?)之比，即H(j?)?defY(j?)。 （3-4）
F(j?)H(j?)可写为：H(j?)?H(j?)ej????,其中，H(j?)是输出与输入信号的幅度
之比，称为幅频特性（或幅频响应）；?(?)是输出与输入信号的相位差，称为相频特性（或相频响应）。
4线性系统零状态响应的频域分析方法
当线性时不变系统的单位冲激响应为h(t)，激励为f(t)时，系统的零状态响应为：
y(t)?f(t)*h(t) （3-5）
对上式两端进行傅里叶变换，并利用时域卷积定理可得：
Y(j?)?F(j?)H(j?) （3-6）
即系统零状态响应的频谱函数等于系统的频率响应函数与激励的频谱函数之乘积。在求得
Y(j?)后，可利用傅里叶反变换求得系统的时域响应。
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【本章重点】
1掌握傅立叶变换的定义、常用函数的频谱函数，以及周期函数和非周期信号频谱函数求法（06年1.1，1.3；10年8）
2利用傅立叶变换的定义和性质对信号进行傅立叶正反变换，并能绘制频谱图（07年5；08年4；09年3,4；10年4）
3掌握系统频谱响应函数的概念，以及线性系统零状态响应的频域分析方法（08年9；09年5）
4了解理想低通滤波器的频率特性及其冲激响应和阶跃响应（10年8） 5掌握调制与解调的基本原理
【本章难点】
1利用傅立叶变换的定义和性质对信号进行傅立叶正反变换，并能绘制频谱图 2线性系统零状态响应的频域分析方法
【知识点详细讲解】
1、已知信号f(t)???t???1?cost ，求该信号的傅里叶变换。
t????0 分析：该信号是一个截断函数，我们既可以把该信号看成是周期信号?1?cost?经过门函数
G2??t?也可以看成是?1?cost?经过门函数G2??t?的截取，也可以看成是G2??t?被信号
?1?cost?调制所得的信号.
有以下三种解法：
方法一：利用频移性质 方法二：利用频域卷积定理
方法三：利用傅里叶变换的时域微积分特性
方法一：利用频移性质
利用频移性质：由于f(t)??1?cost?G2?(t) 利用欧拉公式，将?1?cost?化为虚指数信号，
f(t)就可以看成是门函数G2??t?被虚指数信号调制的结果。在频域上，就相当于对G2??t?
的频谱进行平移。
f(t)??1?cost?G2?(t) ?1jt1?jt???1?e?e?G2?(t)2?2?又因 G2?(t)?2?Sa?????所以根据频移性质，可得
2sin???
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