武汉理工大学《信号与系统》考研资料
121?3 ?6?1?2?1?1?z1?z1?2z?1可得
112y(n)?(?(?1)n?(?2)n)u(n)
623总结得到
y(n)?(?16121(?1)n?(?2)n)u(n)??(n?2) 2324已知因果离散系统的系统函数H(z)的零极点分布如例4图所示，并且H(0)??2。求： （1） 系统函数H(z)； （2） 系统的频率响应；
（3） 粗略画出频率特性曲线。
jIm[z]-0.50?0.5Re[z]
例4图
解：
（1） 因H(z)?H0z?0.5，代入H(0)??2，得H0?2，所以
z?0.52(z?0.5)H(z)?
z?0.5（2） 因为H(z)的惟一极点z?0.5位于单位圆内，因此系统的频率响应为：
2(ej??0.5)j?j?(?)H(e)?H(z)|z?ej???|H(e)|e j?e?0.5j?（3） 幅频特性|H(ej?)|和相频特性?(?)如例4解图所示。
|H(ej?)|?(?)6?????2??40?4?2?2??40?4?2
5某离散时间LTI系统如5图所示。求：
36
武汉理工大学《信号与系统》考研资料
y(n)x(n)+1DD0.75 例5图
（1） 系统函数H(z)，并画出系统的零极点图；
（2） 系统所有可能的单位响应h(n)，并讨论其因果稳定性；
（3） 在系统稳定的条件下，请根据零极点图概略绘出系统的幅频特性，并标注出
???0,,?时的幅值。
2解：（1）系统函数为：
H(z)?z?131?z?1?z?24
系统的零点为z0?0，极点为p0,1??2,2。零极点图如例6解图（a）所示。 322（2）因为有两个极点，所以收敛域有三种情况|z|?，?|z|?2，|z|?2。
331?z?1z?zH(z)???3
32z?21?z?1?z?2z?43212nn① 当收敛域为|z|?，单位响应h(n)?[(?2)?()]u(?n?1)，系统既不稳定也
333② 当收敛域为
非因果；
212?|z|?2，单位响应h(n)?(?2)nu(?n?1)?()nu(n)，系统稳定333n但非因果；
③ 当收敛域为|z|?2，单位响应h(n)??[(?2)?12n()]u(n)，系统因果但不稳定。 33|H(ej?)|（3）稳定时，系统的幅频特性如例4解图（b）所示。
jIm[z]
Re[z]
?0? 2?-23
（
4/30.80.4976???2?20? （a） （b）
37
武汉理工大学《信号与系统》考研资料
第七章 系统状态变量分析法
【本章考点】
1连续时间系统状态方程的建立 （1）．状态方程的一般形式
状态方程简写为
x??t??Ax?t??Be?t? （7.1）
输出方程简写成
y?t??Cx?t??De?t? （7.2） （2）．由电路图直接列写状态方程 （3）．由系统的输入－输出方程或模拟图列写状态方程 2离散时间系统状态方程的建立 （1）．状态方程的一般形式
状态方程简写为
x?k?1??Ax?k??Be?k? （7.3）
输出方程简写成
y?k??Cx?k??De?k? （7.4） （2）．由系统的差分方程或模拟图列写状态方程
【本章重点】
（1）掌握系统状态、状态变量、状态方程和输出方向的概念和定义
（2）掌握有系统的微分方程或差分方程或系统函数、函数的模拟框图或电路图来建立系统的状态方程和输出方程的方法(06年7；07年10；08年14；09年16；10年13)
38
武汉理工大学《信号与系统》考研资料
【知识点详细讲解】
1已知一线性非时变系统的系统函数为H?s??方程。
解：由H?s?可直接列写其状态方程为
s?4，试列写状态方程和输出
s3?6s2?11s?6?x??t??10??x1?t???0??1??0??xt???0?et ?x??t????001??2????????2???xt??1??6?11?6??x??t??????3?????3????输出方程为
?x1?t????y?t??Cx?t??De?t???410??x2?t??
?xt??3???2如图所示，列写状态方程，为使系统稳定，常数?，?应满足什么条件？
F(s)?10s?1X2?s??1sX1?s??Y(s)??
解：设状态变量x1(t)，x2(t)，如图7.6
sX1?s????X1?s??X2?s?
s?1X2?s???X1?s??F?s? 10状态方程为
?(t)?????x1?x?(t)???10??2??1??x1(t)??0??x(t)???10???f?t??? ?1???2???为判断系统稳定性，由状态方程求H?s?
H(s)?C?sI?A??1Cadj?sI?A?B?D B?D?det?sI?A?为使系统稳定，则H?s?的二个根必须处于S的左半开平面，即令
det?sI?A???s????s?1??10??0
39
武汉理工大学《信号与系统》考研资料
只要满足????1?0?，即可，因此，???1,??为?和?应满足的条件。
10???10??03如图以x1(t),x2(t),x3(t)为状态变量，已y(t)为响应，写出状态方程和输出方程。
5X2(s)?SX1(s)??10X1(s)?5X2(s) 解：X1(s)?s?10
1X(s)?X1(s)?SX3(s)??X3(s)?X1(s)3 s?1 11X2(s)?W(s)＝?[X3(s)?F(s)]s?2s?2?SX2(s)??2X2(s)?X3(s)?F(s)故：0??x1(t)??0??x1'(t)??－105?x'(t)???0??x(t)???1?[f(t)]－212?????2????0?1??1???0???x3'(t)????x3(t)???y(t)?x1(t)?x1(t)???[0][f(t)][y(t)]?[100]?x(t)?2???x3(t)??
40