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（3）由时域微分特性可得 又有
df(t)?j?F(j?) dt1??jsgn(?)
?
则由时域卷积定理可得
df(t)1??j?F(j?)?(?j)sgn(?)??F(j?) dt?t9 已知系统框图如下图所示，其中G1(t)为门函数，子系统的单位冲激响应为：
3?sint??2 h1(t)???(t?2n)， h2(t)??tn???系统输入为e(t)?cos?t（???t???）。 （1）求子系统输出?(t)的傅里叶变换； （2）证明?(t)傅里叶系数为Ck?（3）求系统的稳态响应。
1k?； cos22?(1?k)??t?e?t?G1?t?
h1?t?h2?t?r?t?解：（1）?(t)??e(t)?G1(t)??h1(t)，
因为 e(t)?E(j?)????(???)??(???)?，G1(t)?Sa?由频域卷积定理得：
???? 2??e(t)?G1(t)?1???1???????????????(???)??(???)??Sa????Sa??Sa???? 2??2?2??2??2??1???????????????Sa????H1(j?) 22?????1再由时域卷积定理可得：
?(t)?W(j?)??Sa?2??而h1(t)?
n?????(t?2n)的周期T?2，角频率为?16
??，由于其单周期h10(t)??(t)的傅
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里叶变换为H10(j?)?1，则由周期信号的傅里叶级数与单周期信号傅里叶变换的关系得：
11??jn?jn?h1(t)??H10(j?)|??n?1?e??e
2n???n???T故其傅里叶变换为：
??1??H1(j?)??2??(??n?)????(??n?)
2n???n?????则
W(j?)?????????Sa?????H1(j?)??2??n?2???2?cos2??(??n?) ?? 22(n?)??n???n?2cos??2??(??n?) ??2n???1?n1?????Sa??2??2（2）由（1）知?(t)也是周期T?2，角频率为?1??的周期信号。若?(t)的傅里叶级数为?(t)?n????Wen??jn?1，则其傅里叶变换为：
??W(j?)?2?n????W?(??n?)
nn?2。 与（1）的结果相对比直接可得Wn??(1?n2)cossin（3）由傅里叶变换的对称性可知h2(t)?通滤波器，其截止频率为
3?t2?G(?)，即系统h(t)是一个理想低
23??t3?。由（2）知?(t)的基波频率为?1??，则2次谐波和2次 2r(t)?111?(ej?t?e?j?t)??cos(?t) ?4?224谐波以上的频率分量全部被滤除，只剩下直流分量和基波分量，即输出信号为：
110某一信号处理系统，已知f(t)?20cos(100t)cos(10t)，理想低通滤波器的频率响应为H(j?)?G240(?)，求系统的零状态响应y(t)。 解：对输入信号化简得：
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f(t) ?20cos100tcos2104t ?10cos100t?10costcos2?104t ?10cos100t?5cos(100?2?104)t?5cos(2?104?100)t即输入信号包含了三个频率成分，?0?100，?1?100?2?104以及?2?2?104?100。由于系统传输函数是截止频率为120的理想低通滤波器，则只能让?0?100的频率分量通
100t)。 过，而?1和?2无法通过，故y(t)?10cos(11 因果线性时不变系统的微分方程为y??(t)?3y?(t)?2y(t)?f?(t)?3f(t)， （1）求频率响应；
（2）求单位冲激响应；
（3）求f(t)?e?tu(t)时的响应y(t)。 解：（1）对微分方程两边作傅里叶变换
?(j?)可得频率响应
2?3(j?)?2Y(j?)?(j??3)F(j?)
?H(j?)?（2）单位冲激响应为：
Y(j?)j??321 ???F(j?)(j??2)(j??1)j??1j??2h(t)?(2e?t?e?2t)u(t)
（3）当输入为f(t)?e?tu(t)时，F(j?)?1，则输出信号的频谱为：
j??1Y(j?)?F(j?)H(j?)?输出信号为：
j??3
(j??1)2(j??2)y(t)?(2te?t?e?t?e?2t)u(t)
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第四章 连续时间信号与系统的复频域分析
【本章考点】
1.拉普拉斯变换的定义
F(s)? f(t)?2.拉普拉斯变换的收敛域
对于单边信号f(t)，当t??时，若存在一个?0值使得???0时，f(t)e??t的极限等于零，则f(t)e??t在???0的全部范围内满足绝对可积，Laplace变换存在。这一关系可表示为
????f(t)e?stdt (4-1)
F(s)estds (4-2)
2?j??1??j??j?limf(t)e??t?0，???0 (4-3)
t??3常见信号的拉普拉斯变换对（附表1） 4拉普拉斯变换的基本性质（附表2） 5拉普拉斯反变换（附表3） 6系统函数与时域响应
系统函数定义为系统的零状态响应的象函数Yf(s)与激励的象函数F(s)之比，用H(s)表示，即
H(s)?defYf(s)F(s)?B(s) (4-4) A(s)引入系统函数的概念后，系统零状态响应的象函数可写为
Yf(s)?H(s)F(s) (4-5)
若对H(s)求拉普拉斯反变换，则H(s)的每个极点将对应一个时间函数。也就是说，冲激响应h(t)的函数形式完全取决于H(s)的极点；而幅度和相角将由极点和零点共同决定。因此，h(t)完全由H(s)的零、极点位置决定。
7系统函数与频域响应
由系统的零、极点分布不但可以确定系统时域响应的模式，也可以定性了解系统的频域特性，即可由系统函数H(s)大致地描绘出系统的频响特性曲线H(j?)～?，?(?)～
?。
(j??z1)(j??z2)?(j??zm)H(j?)?K?K(j??p1)(j??p2)?(j??pn)8系统的稳定性
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?(j??z)jm?(j??p)ii?1j?1n (4-6)
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稳定性是系统自身的固有特性，它取决于系统本身的结构和参数，而与激励无关。可以证明，线性连续系统是稳定系统的充分必要条件是系统的冲激响应h(t)绝对可积。设M为有限正实数，系统稳定的充分必要条件可表示为
??【本章重点】
??h(t)dt?M?? (4-7)
1、 掌握拉普变换的定义、收敛域，以及拉普拉斯反变换的求解方法（09年6；10年6） 2、 掌握常见信号拉普拉斯变换对和拉普拉斯变换性质并能灵活应用（07年3.4；08年8；
09年7；10年3）
3、 掌握连续时间系统的复频域分析方法，并解其全响应、零输入响应、零状态响应和单位
冲激响应（09年12、14.2；10年10） 4、 掌握S域模型求解电路的方法
5、 掌握系统函数H（s）的定义及求解方法，并能由H（s）画出系统的直接模拟框图（06
年4、5；07年6.1；08年10.2）
6、 掌握系统函数H（s）与系统时域和频域特性的关系，并能利用矢量作图法画出系统的
幅频响应曲线（07年6.2；08年10.3）
7、 掌握系统稳定性的定义，能利用罗斯判据来判断系统的稳定性（06年1.7、5；08年5；
09年10、14.4；10年9.1）
【本章难点】
1、 灵活应用拉普拉斯变换对及其性质求解复杂信号的拉普拉斯变换 2、 利用S域模型求解电路中相关响应
3、 利用部分分式法求拉普拉斯反变换（尤其是要构造表中熟悉表达式形式时） 4、 利用矢量作图法画出系统的幅频响应曲线
【知识点详细讲解】
1求下列函数的拉普拉斯变换并注明收敛区。
(1)?1?e?1??t?u?t?
(2)?t3?2t2?1?u?t?
(3)e??tcos??t???u?t?
解：
11(1)L{(?e??t)u(t)}?L{(1?e??t)u(t)}??111[?]?ss??1?s(s??)?
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