武汉理工大学《信号与系统》考研资料
从而有
yzi(0)?K1?K2??1 yzi(1)??K1?2K2?4
解得
K1 = 2， K2 = ?3
故
yzi(n)?2(?1)n?3(?2)n,n?0
第六章 离散时间信号与系统的Z域分析
【本章考点】
1． z变换的定义
序列x(n)的z变换定义为：
X(z)?ZT[x(n)]?单边z变换定义为：
n????x(n)z??n (6-1)
XI(z)??x(n)z?n (6-2)
n?0?对因果序列，单边z变换与双边z变换相等。 2． z变换的收敛域
并不是所有序列的z变换对所有z值都是存在的。序列的z变换存在，就必须有
n????|x(n)z??n|?? (6-3)
3. z反变换
已知X(z)及其收敛域，反过来求序列x(n)的变换称为z反变换。z反变换的定义为：
x(n)?1X(z)zn?1dz,c?(Rx?,Rx?) (6-4) ?2?jc（1）幂级数展开法留数法 （2）部分分式展开法 （3）留数法
4. z变换的性质
5．离散时间系统的Z域分析
应用差分方程的z域解法，求离散系统的一般步骤为： ① 建立描述离散系统特性的差分方程；
② 对差分方程的左右两边取单边z变换，得到z域的代数方程；
③ 解z域的代数方程，得到零输入响应、零状态响应和全响应的z域解； ④ 对z域解求z反变换，求得系统响应的时域解。 6．系统函数
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（1）定义：已知系统的单位响应h(n)，对h(n)进行z变换，得到H(z)，一般称H(z)为系统的系统函数，其表征了系统的复频域特性。
H(z)??h(n)z?n (6-5)
n?0??（2）求解方法： ① 按定义计算：H(z)??h(n)zn?0???n；
② 依据物理意义H(z)?的一般表示式
Yzs(z)计算：对N阶差分方程，进行z变换，得到系统函数X(z)H(z)?Yzs(z)?X(z)?bziM?i?ak?0i?0N (6-6)
kz?k③ 根据系统方框图，列写输入输出方程求得。 （3）幅频响应曲线的绘制
幅频特性由零点矢量的大小的连乘积与极点矢量的大小的连乘积的比值决定，相频特性由零点矢量的相角和与极点矢量的相角和的差值决定，即
|H(e)|?Aj??cm?1Nk?1Nm （6-7）
k?d
7．系统函数与系统特性
（1）从系统的零极点分布判断系统的因果性和稳定性：
① 系统因果的条件为系统函数H(z)的收敛域包含?； ② 系统稳定的条件为系统函数H(z)的收敛域包含单位圆；
③ 系统因果且稳定的条件为系统函数H(z)的收敛域r?|z|??,0?r?1。
【本章重点】
(1) 掌握Z变换的定义、收敛域以及常用序列的Z变换
(2) 掌握Z变换的性质，并能灵活应用求解Z变换与反Z变换（06年1.6；07年3.3；08
年6；08年12；09年9，11；10年7，12）
(3) 运用Z变换分许法求解离散时间系统的响应，包括全响应、输入响应、输出响应和单位
样值响应（06年8；10年12）
(4) 掌握系统函数H(z)的定义，以及H(z)的零、极点分布与系统稳定性的关系（06年6；
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07年7；07年9；08年11.2,3；09年8；09年13）
(5) 能进行差分方程和模拟框图之间的互求（07年8；08年11.1；09年15；10年11） (6) 掌握离散时间系统的频率响应的定义，能运用矢量作图法绘制系统幅频响应曲线（06
年8；07年8；08年11.4；09年15）
【本章难点】
(1) 通过Z变换的性质求解Z变换与反Z变换
(2) 运用Z变换分许法求解离散时间系统的响应并作出系统幅频响应曲线 (3) 差分方程和模拟框图之间的互求
【知识点详细讲解】
1利用z变换的性质求下列序列的z变换，并注明收敛域。
（1）[1?(?1)]u(n) （2）(?1)nnu(n) （3）n(n?1)u(n?1) 解：
（1） X(z)?X1(z)?X2(z)
12n11zX1(z)?ZT[u(n)]? |z|?1
22z?111zX2(z)?ZT[(?1)nu(n)]? |z|?1
22z?11zzz2?]?2所以 X(z)?[ |z|?1
2z?1z?1z?1z |z|?1 z?1dzzn()??2所以 n(?1)u(n)??z |z|?1 dzz?1z?1（2）因为 (?1)u(n)?n（3）因为 nu(n)?z |z|?1
(z?1)2(n?1)u(n?1)?z?1所以
z1 |z|?1 ?22(z?1)(z?1)d12z?2z2 |z|?1 n(n?1)u(n?1)??z[]?4dz(z?1)2(z?1)2已知：
X(z)?32 ?1?11?2z?11?z233
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求出对应X(z)的各种可能的序列表达式。
解：X(z)有两个极点：z1?0.5，z2?2，因为收敛域总是以极点为边界，因此收敛域有以下三种情况：
|z|?0.5，0.5?|z|?2，|z|?2
三种收敛域对应三种不同的原序列。
（1） 当收敛域为|z|?0.5时，由收敛域可得原序列为左边序列。
X(z)?查表可得
32 ?1?11?2z?11?z212nn x(n)??[3?()?2?2]u(?n?1) （2） 当收敛域为0.5?|z|?2时，
X(z)?32??X1(z)?X2(z) 1?11?2z?11?z2由收敛域可得X1(z)对应的原序列为右边序列，而X2(z)对应的原序列为左边序列，查表可得
x(n)?3?()u(n)?2?2u(?n?1)
（3） 当收敛域为|z|?2时，由收敛域可得原序列为右边序列。
12nnX(z)?可得
32 ?1?11?2z?11?z212nn x(n)?[3?()?2?2]u(n) 3用z变换法解下列差分方程：
（1）y(n)?0.9y(n?1)?0.05u(n),y(n)?0,n??1
（2）y(n)?0.9y(n?1)?0.05u(n),y(?1)?1,y(n)?0,n??1 （3）y(n)?3y(n?1)?2y(n?2)?u(n),
y(?1)?0,y(?2)?解：
1,y(n)?0,n??3 2 34
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（1） 对方程两边进行z变换得
Y(z)?0.9Y(z)z?1?0.05
1?z?1Y(z)?运用部分分式法得 Y(z)?0.05
(1?0.9z?1)(1?z?1)0.05?0.450.5 ???1?1?1?1(1?0.9z)(1?z)1?0.9z1?z由y(n)?0,n??1知，y(n)是因果序列，得
y(n)?(?0.45?0.9n?0.5)u(n)
（2） 对方程两边进行z变换得
Y(z)?0.9z[Y(z)??1k????y(k)z?k]??10.05 ?11?z0.05
1?z?10.05Y(z)?0.9z?1Y(z)?0.9?
1?z?1Y(z)?0.9z?1[Y(z)?y(?1)z]?0.95?0.9z?1 Y(z)??1?1(1?0.9z)(1?z)当n?0时，运用部分分式法得
0.95?0.9z?10.450.5 Y(z)? ??(1?0.9z?1)(1?z?1)1?0.9z?11?z?1可得
y(n)?(0.45?0.9n?0.5)u(n)
总结得到
y(n)?(0.45?0.9?0.5)u(n)??(n?1) （3） 对方程两边进行z变换得
nY(z)?3z?1[Y(z)?y(?1)z]?2z?2[Y(z)?y(?1)z?y(?2)z2]?当n?0时，运用部分分式法得
1 ?11?zz?1z?1Y(z)? ?(1?3z?1?2z?2)(1?z?1)(1?z?1)(1?z?1)(1?2z?1) 35