武汉理工大学《信号与系统》考研资料
F????F?f(t)?11?2sin????1??2sin????1?2sin??2???2
???1??12sin??????2?1??方法二：用频域卷积定理
将f(t)看成是信号?1?cost?经过窗函数G2??t?的截取，即时域中两信号相乘
f(t)??1?cost?G2?(t)
根据频域卷积定理有
F?????1F?1?cost??F?G2??t?? 2?1?2???????????1???????1?? ?2sin?? 2????2sin??
??2?1??方法三：利用傅里叶变换的时域微积分特性
信号f(t)是余弦函数的截断函数，而余弦函数的二次导数又是余弦函数。利用傅里叶变换的时域微积分特性可以列方程求解。 f?t? f?t?,f??t?,f???t?的波形为：由图可知
2f???t???costG2?(t)???f?t??G2?(t)?
??f??t???2?2?tf???t?对上式两端取傅里叶变换，可得
1????2?12sin???????? ???1??2?F????2sin?
?j??2F?????F??????21?t????2?1?2?t由于f?(t)和f??(t)均为能量信号，其傅立叶变换在??0处都等于0，根据时域积分特性，
（1??2）F???中不可能含有????项，因此可将项移到方程右边，即
2sin?? F???????2?1
??
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??2 求信号f(t)?解：
n????[?(t?2nT)??(t?(2n?1)T)]的傅氏变换。
?T，
信号周期为：2T，则?0?1Fn?2T?1???T??0?3T2T?2[?(t)??(t?T)]e?jn?0tdt?1[1?e?jn?0T] 2Tf(t)n?2k?1n?2k??其中k??
?2T0?ToT2T3Tt2??f(t)?T3、设信号
k?????(??(2k?1)?) 2,0?t?4
f1( t ) = 0, 其他
试求f2( t ) = f1( t )cos50t的频谱函数，并大致画出其幅度频谱。 解 因
F(?)?2?Sa(故
??2)e?j2??8Sa(2?)e?j2?
1F2(?)?[F1(??50)?F1(??50)]
2?4Sa[2(??50)]e?j2(??50)?4Sa[2(??50)]e?j2(??50)
幅度频谱见下图，
50
50
| F2(?) |
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4、利用傅里叶变换的性质，求下图所示信号f2( t )的频谱函数。
解 由于f1( t )的A = 2，? = 2，故其变换
F1(?)?A?Sa2(根据尺度特性，有
??2)?4Sa2(?)
tf1()?2F1(2?)?8Sa2(2?) 2再由调制定理得
tf2(t)?f1()cosπt?F2(?)
21F2(?)?[8Sa2(2??2π)?8Sa2(2??2π)]
2?4Sa2(2??2π)?4Sa2(2??2π) sin2(2?)sin2(2?) ??(??π)2(??π)2d5、设f(t)的傅立叶变换为F(j?)，求 f(at?b)的傅立叶变换以及F(0),f(0)。dt?b1?ja解 F[f(at?b)?F()e
aad1?ja由微分性质知，F[f(at?b)]?j?F()e
dtaa?b 13
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F(j?)??????f(t)e?j?tdt令??0f(t)dtF(j?)e??j?t?F(0)??1f(t)?2??f(0)???????d?令t?0
12????F(j?)d?6、.求下列信号的傅里叶变换
（1）f(t)?e?jt?(t?2) （2）f(t)?e?3(t?1)?'(t?1) 解：
（1）已知 ?(t)?1 由时频性质可得
?(t?2)?e?j2?
?1)t?2j(?再由时频性质可得f(t)的傅里叶变换 e?j?(t?2)?e
??1)即 F(j?)?e?j2(
（2）f(t)的傅里叶变换为
f(t)?e?3(t?1)?'(t?1)??'(t?1)?(?3)?(t?1)??(t?1)?3?(t?1)又?(t)?1，?(t)?j?，最后可得
''
F(j?)?(j??3)e?j?
7、根据傅里叶的对称性求出下列函数的傅里叶变换 （1）f(t)?sin?2?(t?2)???t?2?,???t??
（2）f(t)?2?,???t??
?2?t2解：
由门函数的频谱密度，即
g?(t)??Sa(取??2，幅度为
??2)
1，根据傅里叶变换有 21g2(t)?Sa(?) 2又g2(t)是偶函数，根据对称性可得
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Sa(t)??g?(?)
根据时移性和尺度变换可知
Sa[2?(t?2)]?最后可得
F(j?)?{0（2）由于
e可知
??te?j2?1g4?(?)e?j2? 2??2???2?
?2? 22???2?????2?e 22??t即f(t)?2????,???t??的傅里叶变换为 2?e?2?t28、若已知f(t)?F(j?)，求下列函数的频谱： （1）(1?t)f(1?t) （2）ejtf(3?2t) （3）
df(t)1? dt?t解：
（1）由频域的微分性质可得
dF(j?) d?dF(??j )由反转特性可得 ?tf(?t)??jd?tf(t)?j又由时移性质可得
(?t?1)f(?t?1)??je（2）由尺度变换特性可得
?j?dF(?j?) d?f(?2t)?由时移特性可得
1?F(?j) 22?1?j32?F(?j) f(3?2t)?e22又由频移性质可得
1?j3(?2?1)1??F(?j) ef(3?2t)?e22jt 15