解：在任意的四个自然数中，必有两个数，它们的差能被3整除。
例2.旅游团组织2011名游客去游览上海博物馆、东方明珠、豫园，规定每人必须去一处，最多去两处，那么至少几个人游览的地方完全相同？
分析：首先要构建好抽屉数，然后根据抽屉原理（2），只要商+1即可。
解：构建抽屉：（东方明珠），（豫园），（上海博物馆），（东方明珠，豫园），（东方明珠，上海博物馆），（豫园，上海博物馆）。
∴抽屉数为6,2011÷6=335。。。。。。1，至少有：335+1=336（人） 答：至少有336人游览的地方相同。
例3.如图十一个8行8列的方格表，能否在每一个空格中填上1、2、3这三个数字中的任意一个，使得每行每列及对角线AC、BD上的各个数字的和互不相同？请加以说明。 分析：图中8行8列及每条对角线可以看作8+8+2=18（个）事物。1、2、3所组成的和最小8个1（其和为8），最大8个3（其和为24），共有24-8+1=17（个），看作17个抽屉。 解：把8行8列及两条对角线共18个看作18个事物。把从8到24共17个和看作17个抽屉。
∴18÷17=1。。。。。。1，必有一个抽屉中有2个事物。即必有两个和是相同的。所以此命题不成立。 2009.6.3 盈亏问题
例1.红星小学三、四年级的同学乘汽车春游，如果每车45人，有10人不能坐车；如果每车多坐5人，又多出一辆汽车。问一共有多少辆汽车？有多少名同学去春游？
分析：每车多坐5人，多出一辆车，说明每车多坐5人，还差（455）人正好把车坐完，又少了一辆车，所以两次乘车的人数相差（45+5+10）人。
解：车辆：（45+5+10）÷（45+5-45）=12（辆）；人数：12×45+10=550（人） 答：一共有12辆车，550人去春游。
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例2.植树小组去植树，若没人栽12棵，则树苗少28棵，若没人栽9棵，则树苗少1棵。问栽树小组由多少人？树苗共有多少棵？
分析：此题是双亏问题，所以应（大亏-小亏）÷两次分配的差。第一种亏28棵，第二种亏1棵，总差额为27棵。根据这一关系即可解题。
解：人数:(28-1)÷(12-9)=9(人)；树苗：9×12-28=80（棵）。
例3.有红、白球若干，若每次拿出1个红球和1个白球，当红球被拿完时，还剩下50个白球；若每次拿1个红球和3个白球，则当白球被拿完时，红球还剩下50个。那么红球和白球共有多少个？
分析：第一种情况中，白球多了50个。第二种情况中，如果红球也被拿完，白球就少了3×50=150个。
解：红球：（50+3×50）÷（3-1）=100（个）
白球：100+50=150（个） 两种球共有：100+150=250（个） 答：共有250个球。
2009.6.10 方阵问题：
常见的方阵有两种：实心方阵和空心方阵
它们都有共同的特点：方阵每边的实物数量相等，里外相邻的两边实物数量相差2。 例1.为了庆祝国庆节，同学们组成了一个鲜花队方阵。已知第一横行与第一竖列共有25人。这个鲜花队方阵有多少人？
分析：由已知条件可知，如果增加1人，则是26人，正好平分在一行一列例，这样就可以求出每行或每列的人数，从而求出总人数。 解：（25+1）÷2=13（人）；13×13=169（人） 答：这个鲜花队方阵有169人。
例2.学校用鲜花在升旗台周围摆成两层空心方阵，已知最外层每边有12盆鲜花。一共摆了多少盆鲜花？
分析：根据题意，可以画出示意图（图3）。如果把这个空心方阵分成相等的四部分，则从图中可以看出，每个部分的鲜花
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盆数为（12-2）×2=20(盆)，四个部分的鲜花总盆数为20×4=80（盆）。 解：（12-2）×2×4=80（盆） 答：一共摆了80盆鲜花。
例3.在数学活动课上，小华用围棋排成了一个空心方阵，最外层每边有16枚棋子，最内层每边有8枚棋子。这个空心方阵一共有围棋子多少枚？
分析：本题关键是要求出空心方阵的层数：（16-8）÷2+1=5（层），然后用计算空心方阵总数量的方法即可。
解：（16-8）÷2+1=5（层）；（16-5）×5×4=220（枚） 答：一共有围棋子220枚。
模拟练习题
兄弟五人平分父亲遗留下来的三处房产，由于房子无法拆分，使分别给了老大、老二和老三。为了补偿，三个哥哥每人付8万元给老四和老五，于是，五人所得完全相同。问三所房子的总价是多少？ 答案：
解答：三个哥哥共给了弟弟8×3=24（万元），两个弟弟平分后各得24÷2=12（万元），这也就是每个人平分得到的钱数。因此12×5=60（万元）就是三所房子的总价值。
2009.9.16 题目：
1.用数码0、1、2、3、4和5组成各位数码都不相同的六位数，并按从小到大顺序排列，第502个数是（ ）
2.下列图形中，与众不同的图形是（ ）。
A B C D E
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答案：
1.首位分别是1、2、3、4的六位数各有120个，共480个。以50开头的六位数有24个，即504321是第504个数。所以第503个数是504312，第502个数是504231。
2.选D。A、B、C、E是同一个图形分别经过旋转而得到的图形。
2009.10.7 定义新运算
定义新运算，就是规定一种加、减、乘、除四种运算以外的运算形式，并利用其定义的对
应法则进行简单的运算。
定义新运算的关键是抓住定义的本质。
例1.设a、b分别表示两个数，如果a*b表示3,照这样的规定，3*[6*(8*5)]的结果是什么？
分析：按先小括号后中括号，先内后外的运算顺序进行计算。
8-56-122 4
解答：3*[6*（8*5）]=3*[6*(3)]=3*(6*1)=3*(3)=3*13=33=9。
a-b
例2．规定a*b=Aa+ab，而且1*2=2*3，求3*4的值。
分析：先由定义的算式和1*2=2*3求出A的值，以便利用定义式求3*4。 解答：1*2=A×1+1×2=A+2
2+35
2*3=A×2+2×3=2A+6
1+2
3
a+b
∵ 1*2=2*3 ∴ A+2=2A+6 A=3
7
7
352
∴ 3*4=A×3+3×4=3×3+12=212
123471151634
例3.有一个数学运算符号“О”,使下列算式成立：2О3=6,5О9=45,6О7=42,求11О5的值。
3+42
分析：此题定义的新运算不是通过代数式给出的，而是需要我们自己寻找。给出的算式有以下规律：
1231+22О3=6=2×3 47114+75О9=45=5×9 5165+16О7=42=6×7
可以看出，新运算的结果为两分数的分子之和，除以两分数的分母之积。
解答：
∵分析给出等式，可得新运算为：aОb=a×b,∴11О5=11×5=55。
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cdc+d343+47
题目：
1.在满足下式的正确填法中，不同的和有（ ）个。 □+□□+□□□=□□□□
2.A、B、C、D、E，表示5个互不相同的正整数。将这5个数排成一排，如果其中任意相邻的3个数之和都小于15，那么这5个数之和最大是（ ）。
答案：
1.和最小是1000，最大事9+99+999=1107，不同的和有1107-1000+1=108（个）。
2.因为任意3个相邻数之和最大是14，所以可设（A+B+C）+(C+D+E)=142×2,A+B+2C+D+E=28。因为要求5个数之和最大，所以C应当尽量小，C=1,5个数之和A+B+C+D+E=28-1=27。
2009.10.14 应用题讲解
例1.实验室里有一只特别的钟，钟面上一圈共有20格，每过7分钟，指针跳一次，每跳一次就要跳过9格。今天早上8点的时候，指针恰好从0跳到9，请问昨天晚上8点整的时候指针指的是几呢？
分析:这段话的意思就是：一只钟钟面上有20个格，每过7分钟跳9格，在第6分59秒前并不跳。所以，只要求出12小时跳多少格，再除以这个钟的格数20就可以了。
解答：从昨晚8点到今天早上8点，共12个小时，即60×12=720（分），720÷7=102（次）。。。。。。6（分）。102×7=714（分），所以在714分钟前（即昨晚8:06）一共跳了102次，减去今天早上8时那一次，即101次。又因为指针每跳20次就回到原处，所以101÷20=5。。。。。。1，所以在昨晚8:06时，指针跳到11处。而昨天晚上8点整的时候指针还没有跳，指针指着11-9=2。
例2.已知三个小组共有180人，其中一、二两个小组人数之和比第三小组多20人，第一小组比第二小组少2人，求第一小组的人数。
解答：先把一、二两个小组看成一个整体，吧第三小组看成另一个整体，我们把这种方法叫做“化三为二”，即把三个问题转换成两个问题。先求出第一、二小组的总人数：（180+20）÷2=100（人）。再求出第一小组的人数：（100-2）÷2=49（人）。 题目：
小明骑自行车上学需36分钟。坐公交汽车上学与骑车上学走的路程完全相同，其中乘车的路程是步行路程的2倍。如果乘车的速度是骑车速度的3倍，步行的速度是骑车速度的一半，那么小明坐公共汽车上学需（ ）分钟。
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