第一章
1．逆序数 1.1 定义
行列式
n个互不相等的正整数任意一种排列为：i1i2???in，规定由小到大为标准次序，当某两个元素的先后
次序与标准次序不同时，就说有一个逆序数，该排列全部逆序数的总合用??i1i2???in?表示，
??i1i2???in?等于它所有数字中后面小于前面数字的个数之和。
1.2 性质
一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性，即 ?22．n阶行列式的5大性质
性质1：转置（行与列顺次互换）其值不变。 性质2：互换任意两行（列）其值变号。
性质3：任意某行（列）可提出公因子到行列式符号外。 性质4：任意行列式可按某行（列）分解为两个行列式之和。 性质5：把行列式某行（列）?倍后再加到另一行（列），其值不变。
行列式的五大性质全部可通过其定义证明；而以后对行列式的运算主要是利用这五个性质。
评 注 对性质4的重要拓展： 设n阶同型矩阵，以，
???1??1。
A??aij?; B??bij??A?B??aij?bij?，而行列式只是就某一列分解，所
nA?B应当是2个行列式之和，即A?B?A?B
。
评 注 韦达定理的一般形式为：
anx?an?1xnn?1?an?2xn?2nan?1an?2nna???a0?0??xi??; ?xixj?; ?xi???1?0ananani?1i?j?1i?1n 1
一、行列式定义 1．定义
a11a21?an1a12a22?a1n?a2n???an2?ann??(?1)?(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjn
其中逆序数 个数.
??j1j2?nj??j后面的j1小的数的个数 ?j2后面比j2小的数的个数???jn?1后面比jn?1小的数的12．三角形行列式
a110?0a12?a1n?a11a21?an10?00
a22?a2n???0?anna22????an2?ann
?a11a2?2ann
00??0??a1na2n?ann?a11a21?an1a12?a1na22?0?00???
??an1?ann?1???1????n?n?1??2?1??a1na2n?1?an1
???1?n?n?1?2a1na2n?1?an1
二、行列式性质和展开定理
1．会熟练运用行列式性质，进行行列式计算. 2．展开定理
ai1Ak1?ai2Ak2???ainAkn??ikA a1jA1k?a2jA2k??anjAnk??jkA
三、重要公式
1
设A是n阶方阵，则 1．AT?A
2．A?1?A?1 3．A*?An?1
4．kA?knA 5．
AB?AB，其中B也是n阶方阵
6．设B为m阶方阵，则
AC00B?ACB?AB
0AAmnBC?CB0???1?AB
7．范德蒙行列式
11?1x1x2?xnx21x22?x2n???xi?xj?
????1?j?i?nxn?11xn?1n?12?xn四．有关结论 1．对于
An?n,Bn?n
(1)A?0??A?0
(2)
A?B??A?B
2.
A为n阶可逆矩阵
A?0?r?A??n?A可逆
?A行变?E?A?E（A与E等价）列变?AX?0只有惟一零解
2
?AX?b有惟一解（克莱姆法则） ?A的行（列）向量组线性无关
?A的n个特征值?i?0,i?1,2,?,n
?A可写成若干个初等矩阵的乘积 ?r(AB)?r(B) ?ATA是正定矩阵
?A是Rn中某两组基之间的过渡矩阵
3.
A为n阶不可逆矩阵
A?0
?AX?0有非零解
?r(A)?n ?0是A的特征值 ?A??A
4.若A为n阶矩阵，?i(i?1,2?n)为A的n个特征值，则A???i
i?1n5.若A~B，则A?B
行列式的基本计算方法：
1. 应用行列式的性质化简行列式（例如化为三角形行列式就是一个常用方法）。
2. 按行（列）展开行列式（在此基础上，有些题可用数学归纳法、有些题可用递推关系式来计算行列式）。 在实际使用中，常常将上述两种方法交替使用。
行列式的计算是行列式的重点内容，特别是低阶行列式及简单的n阶行列式的计算一般总要遇到（例如求特征值），因此，务求熟练掌握。 典型题:
一. 数字行列式的计算. 1. 利用行列式的定义. 2. 利用行列式的基本性质.
3. 一般的数字行列式，三角化，爪形行列式，行列式按某行（列展开），利用特征值、特征向量求。递推公式. 二. 行列式的代数余子式的相关计算. 三.
1.与向量成分块矩阵结合 2与特征值、特征向量结合.
3
A?B类型成抽象行列式的计算.
4 与代数余子式结合.
四.范德蒙行列式与克莱姆法则
第二章 矩阵
一 内容概要 1 矩阵的概念
注意它和行列式的区别：1）表现形式上的差别；2）表现本质上的差别，一个是数（行列式是数），而矩阵是一个符号；3）一般地当A是一个方阵时候，
2矩阵的运算及其运算律 （1）矩阵的相等； （2）矩阵的线性运算：
a)矩阵的和：A+B 注意A和B要是阶数一致的矩阵（或称同型矩阵）； b)矩阵的数乘（或称数乘矩阵）
A才有意义，但是
A?A；此外当A是长方形矩阵时A没有意义。
kA?k(aij)m?n??kaij?m?n；
c)一般地，若线性运算；
A1,A2,?,At是同型矩阵，则k1A1?k2A2???ktAt有意义，称为矩阵A1,A2,?,At的一个
3矩阵的转置
将矩阵A的行列互换，得到新的矩阵4 矩阵的乘法 矩阵乘法的定义：
AT或A?，称为矩阵A的转置。
Am?nBn?s??Cij?m?s
注意指出：在定义中，第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，而
cij?ai1b1j?ai2b2j???ainbnj??ai1ai2?b1j????b2j??ai4???
????b??nj?5关于矩阵运算的运算律要注意的问题： 1）一般地致；例如
4
AB?BA其原因是a)AB与BA不一定同时有意义；b)即使AB与BA都有意义，AB与BA的阶数也未必一