为把?单位化。 向量长度的性质：
(1) 非负性：当?(2) 齐次性：
?0时，??0；当??0时，??0；
；
k??k?(3) 柯西—施瓦兹不等式：(4) 三角不等式：
(?,?)???
；
?????????,???, 称
为?与?之间的夹角．
定义4：若(?,?)?0, 称?与?正交, 记作???．
定义3：设实向量? (1)
??,???arccos(?,?)??
(0????)
???,???时, ???2；
(2) ???或???时, ???有意义, 而??,??无意义．
注：（1）零向量与任何向量都正交。
（2）定义了内积的向量空间称为欧氏空间。 2．标准正交基的向量组 定义5
正交向量组：非零实向量?1,?2,?,?s两两正交。 正交单位向量组(标准正交向量组)：非零实向量
?????1,?2,?,?s两两正交，且每个向量长度全为1，即
?1(i?j)(?i,?j)???0(i?j)。
定理：正交向量组是线性无关的。 例如，书p100例3.5.1
例1 已知三维向量空间中两个向量 ?1? ???1??1?,
??????,?,?3123正交，试求使构成三维空间的一个正交基.
3． 正交矩阵
定义6：A是一个n阶实矩阵，若AA?定理：设A、B都是n阶正交矩阵，则 (1)
T1?1????2???2??1???E，则称A为正交矩阵。
A?1或A??1
(2)A(3)
?AT
A?1(即AT)也是正交矩阵
?1(4)AB也是正交矩阵。
定理：n阶实矩阵A是正交矩阵?A的列（行）向量组为单位正交向量组。
注：n个n维向量，若长度为1，且两两正交，责备以它们为列（行） 向量构成的矩阵一定是正交矩阵。
第四章 线性方程组
一、基本概念及表达形式
15
?a11x1?a12x2???a1nxn?b1??a21x1?a22x2???a2nxn?b2非齐次线性方程组的一般形式：? (I)
? ? ? ?? ? ??am1x1?am2x2???amnxn?bm?a11??a21A=
????a?m1a12a22?am2?a1n??a11a12???a2n??a21a22=?A????????a?m1am2?amn???a1j??x1??b1?b1????????a?a2nb2??2j??x2??b2? ?，x???,b???,?j???。 ????????????????????amnbm???xn??bm??amj??a1nA叫作(I)的系数矩阵，A叫作(I)的增广矩阵。
(I) 还可改写为矩阵方程的形式：
Ax?b
?x2?2???xn?n?b。
和向量形式：x1?1?a11x1?a12x2???a1nxn?0?ax?ax???ax?0?2112222nn齐次线性方程组的一般形式：? (II)
? ? ? ? ????am1x1?am2x2???amnxn?0(II)叫作(I)的导出组，其矩阵形式为：
Ax?O
?x2?2???xn?n?O。
向量形式为：x1?1二、线性方程组解的性质
1)如果?，?是齐次线性方程组2)如果?是齐次线性方程组3)如果有?1，?2，?，?s是
Ax?O的两个解，则???也是它的解。
Ax?O的解，则k?也是它的解。
Ax?O的解，则k?+k?+?+k?s也是它的解．ki为任意常数(i=1，2，?，s)。
1
1
2
2
s
4)如果?，?是非齐次线性方程组5)如果?是
Ax?b的两个解，则?-?是导出组Ax?O的解。
Ax?O的解，?是Ax?b的解，则?+?是Ax?b的解。
Ax?b的解，k1,k2,?,ks为常数，且k1?k2??ks?1，
6)如果?1,?2,?,?s是则k1?1?k2?2??ks?s也是Ax?b的解。
三、线性方程组解的判定定理
1、非齐次线性方程组 1）若秩(A)Ax?b
?秩(A)，则Ax?b无解。
??n,则有唯一解， ?秩(A)??n,则有无穷多解。? 2) 若秩(A)具体做法：设未知量的顺序)：
Ax?b的增广矩阵记为A，则A经过初等行变换可化为如下的阶梯形矩阵(需要交换列时可重新排列
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?10?0c1r?1??01?0c2r?1???????00?1crr?1A ? ? ? ??00?00?0?00?0????????00?00?于是可知：
（1）当dr+1=0，且r=n时，原方程组有唯一解。 （2）当dr+1=0，且r 当方程组有解时，写出阶梯形矩阵对应的线性方程组，并求解，就可得到原方程组的解。 2、齐次线性方程组 ?c1n?c2n???crn???000??d1??d2????dr? ?dr?1?0????0??Ax?O ?n时，有唯一解；秩(A)?r?n时，有非零解，且有n?r个线性无关的解向 一定有解（至少有零解），且秩(A)量。 具体做法：由于齐次线性方程组 Ax?O的增广矩阵A的最后一列全为零，所以对A施行初等行变换，A可化为： ?10?0c1r?1??01?0c2r?1????????00?1crr?1?00?00?0?00?0????????00?00?0???c2n0???????crn0? ?00???00???????00???c1n于是可知： (1) 当且r=n时，齐次线性方程组仅有零解。 (2) 当r 当m=n时，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式D=0。 四、非齐次线性方程组与其对应的齐次线性方程组解的关系 ??n,则有唯一解， Ax?b有解?秩(A)?秩(A)?r? ?n,则有无穷多解。? Ax?b有唯一解?Ax?O只有零解?秩(A)?n。 Ax?b有无穷多解?Ax?O有非零解?秩(A)?n。 17 五、线性方程组解的结构及基础解系的求法 1、齐次线性方程组解的结构及基础解系的求法 设?1，?2，?，?s是齐次线性方程组1? ?1，?2，?，?s线性无关； 2? 方程组AxAx?O的一组解，若 ?O任何一个解都可由?，?，?，?线性表出，则称?，?，?，?是Ax?O一个基础解系。 1 2 s12s如果齐次线性方程组有非零解(r(A)=r 并且基础解系含有n?r个线性无关的解向量。Ax?O一定有基础解系， Ax?O的基础解系含有n?r个线性无关的解向量，则Ax?O的任意n?r个线性无关的解向量都是Ax?O的一 如果?1，?2，?，?n-r是齐次线性方程组的一个基础解系，则 个基础解系。 Ax?O的全部解为：?=k1?1+k2?2+?+kn-r ?n-r，其中ki(i=1， 2，?，n-r)为任意常数。 若齐次线性方程组下形式： Ax?O有非零解，则r(A)=r ?1??0????0?0?????0即方程组 01?00?0???????00?10?0c1r?1c2r?1?crr?10?0???????c1nc2n?crn0?00??0????0? 0?????0?Ax?O与下面的方程组同解 ?x1??c1r?1xr?1?c1r?2xr?2???c1nxn?x??cx?cx???cx?22r?1r?12r?2r?22nn?? ? ? ? ? ???xr??crr?1xr?1?crr?2xr?2???crnxn其中xr+1， xr+2，?， xn为自由未知量 对这n–r个自由未知量分别取 ?0?，?1?，?，?0?，（共n–r个） ????????????0?????????0?????????1????1??0??0? 可得方程组(1)的n–r个线性无关的解 ?-c1r?2??-c1r?1??-c1n????????-c2r?2??-c2r?1??-c2n??? ??? ??? ????????1=?-crr?1?，?2=?-crr?2?，?，?n–r =?-crn?，即为其基础解系。 ??????0 0 1 ???????0 ??1 ??0 ???????? ???? ??? ????0 ??0 ??1 ????? 18 2、齐次线性方程组解的结构及基础解系的求法 设非齐次线性方程组 Ax?b的任意一个解均可表示为方程组Ax?b的一个特解与其导出组Ax?O的某个解之和。 当非齐次线性方程组有无穷多解时，它的通解可表示为： x=?0?k1?1+k2?2+?+kn-r ?n-r， 其中?0为意常数。 III 题型归纳及思路提示 题型1 基本概念题（解的结构、性质和结构） 题型2 求线性方程组的通解 题型3 含有参数的线性方程组的讨论（历届考研的重点） （1） 题型4 讨论两个方程组的公共解 题型5 有关线性方程组及其基础解系的证明题 题型6 向量组与线性方程组的综合题 IV 本章小结 重点难点：1、含参数的非齐次线性方程组解的判定及讨论； 2、线性方程组的解的结构，特别要掌握基础解系。 本章几乎每年都要考查，也是线性代数部分的考试重点。一般出单项选择题和计算题。要求考生熟练掌握线性方程组的解的判定和结构。由于三元一次方程的几何意义是平面，故方程组是否有解也可转换为平面的空间位置关系问题。近几年方程组也常与空间平面联合出题，请大家注意方程组与空间平面的关系。 Ax?b的一个特解，?1，?2，?，?n-r是齐次线性方程组Ax?O的一个基础解系，k(i=1，2，?，n-r)为任 i第五章 特征值与二次型 §1 向量的内积 在空间几何中，内积描述了向量的度量性质，如长度、夹角等.由内积的定义： x?y?xycos?，可得 19