但因x≠０，所以
x?x??xixi??xi?0.
i?1i?1nn2故????0，即???，这表明?是实数.
显然，当特征值?i为实数时，齐次线性方程组
(A??iE)x?0
是实系数线性方程组，从而必有实的基础解系，即对应于λｉ的特征向量必可取实向量.
定理7 设λ1，λ
2是实对称矩阵的两个特征值，p1，p2是对应的特征向量，若λ1≠λ2，则
p1与p2正交.
证 λ1p1＝Ap1，λ2p2＝Ap2，λ1≠λ2，因A对称，故λ1p1′＝(λ1 p1)′＝(Ap1)′＝ p1′A′＝p1′A，于是
λ1 p1′p2＝p1′Ap2= p1′(λ2p2)= λ2 p1′p2
即
（λ1－λ2）p1′p2＝0，
但λ1≠λ2，故p1′p2＝0，即p1与p2正交.
定理8 设A为实对称矩阵，则必存在正交矩阵T，使
??1????2?, T?1AT?A????????n??其中λ
１
，λ
２
，?，λ
n是
A的特征值.
在这里，我们主要介绍如何具体算出上述正交矩阵T，由于T是正交矩阵，所以T的列向量组是正交的单位向量组，且如前所述，T的列向量组是由A的n个线性无关的特征向量组成，因此对T的列向量组有三条要求：
1°每个列向量是特征向量. 2°任意两个列向量正交. 3°每个列向量是单位向量.
于是求正交矩阵T使T ?1AT为对角矩阵的具体步骤如下： 第一步：求出A的所有不同的特征值λ
１
，λ
２
，?，λs.
第二步：求出A对应于每个特征值λi的一组线性无关的特征向量，即求出齐次线性方程组（Ａ－λiE）x＝0的一个基础解系.并且利用Schmidt正交化方法，把此组基础解系正交规范化，再由定理7知对应于不同特征值的特征向量正交，如此可得A的n个正交的单位特征向量.
第三步：以上面求出的n个正交的单位特征向量作为列向量所得的n阶方阵即为所求的正交矩阵T，以相应的特征值作为主对角线元素的对角矩阵，即为所求的T ?1AT.
§4 化二次型为标准型
前面我们主要研究线性问题，但在实际问题中还存在大量非线性问题，其中最简单的模型就是二次型，本节用矩阵工具来研究二次型，介绍化二次型为标准型的几种方法.
定义8 n元变量x1,x2,?,xn的二次齐次多项式
25
22f(x1,x2,?,xn)?a11x12?a22x2???annxn?2a12x1x2???2a1nx1xn?2a23x2x3???2an?1,nxn?1xn称为二次型.当aij为复数时，f称为复二次型，当aij为实数时, f称为实二次型，我们仅限于讨论实二次型.
取aji＝aij(i （5.4）
?j)则2aijxixj＝aijxixj＋ajixjxi.于是(5.4)式可写成对称形式
2f?a11x12?a12x1x2???a1nx1xn?a21x2x1?a22x2??2?a2nx2xn???an1xnx1?an2xnx2???annxn （5.5）
?记
i,j?1?axx.ijijn?a11a12?a1n??a?a?a222n?A??21,???????aa?ann??n1n2则(5.5)式可以用矩阵形式简单表示为
?x1??x?x??1?, （5.6）
??????xn??x1??x??1???? ???xn??a11?anf??aijxixj?(x1,x2,?,xn)?21??i,j?1??an1?x?Ax,其中A为实对称矩阵.
例如，二次型
a12?a1n?a22?a2n??????an2?ann?f?x2?2xy?4y2?2xz?6yz?5z2用矩阵表示就是：
?11?1?f?(x,y,z)?14?3??????1?35???x??y?. ????z??显然这种矩阵表示是惟一的，即任给一个二次型就惟一确定一个对称矩阵，反之任给一个对称矩阵也可惟一确定一个二次型.即二者之间存在一一对应关系，我们把对称矩阵A称为二次型f的矩阵，A的秩称为f的秩.也称f为对称矩阵A的二次型.
在平面解析几何中讨论二次曲线时，经常采用的是把二次曲线的一般方程
ax2?2bxy?cy2?1
通过坐标变换化成标准型
mx?2?ny?2?1,
再根据标准型作出曲线形状的判断.
在这里，我们对二次型也类似地进行讨论.即对于一般的二次型
f(x1,x2,?,xn)?找到一个非退化的线性变换（即C是n阶可逆矩阵）
i,j?1?axxijinj?x?Ax,
26
x＝Ｃy，
使得
f?x?Ax?(Cy)?A(Cy)?y?(C?AC)y?ky???kny.2112n
即利用非退化线性变换将二次型化为只含平方项的形式.这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准型(或法式).
定理9 任给可逆矩阵C，令B＝C′AC，如果A为对称矩阵，则B亦为对称矩阵，且R(B)＝R(A).此时，也称A与B合同.
证 因A′＝A，故B′＝（C′AC）′＝C′A′C＝C′AC＝B即B为对称矩阵. 又因为B＝C′AC，而C′与C均为可逆矩阵，故A与B等价，于是R（B）＝R（A）.
这定理说明经可逆变换x＝Cy后，二次型f的矩阵A变为对称矩阵C′AC，且二次型的秩不变.矩阵的合同关系与相似关系一样，都满足反身性，对称性，传递性.
要使二次型f经可逆变换x＝Cy变成标准型，这就是要使
22y?C?ACy?k1y12?k2y2???knyn?k1??(y1,y2,?,yn)????理8知，任给实对称矩阵A，总有正交矩阵T，使Ｔ定理.
定理10 任给二次型f＝
－１
k2??????kn??y1??y? ?2?,??????yn?也就是要使C′AC成为对角矩阵.因此，问题归结为：对于对称矩阵A，寻求可逆矩阵C，使C′AC为对角矩阵.由上节的定
AT＝?即T′AT＝?为对角矩阵.把此结论应用于二次型，即有如下
i,j?1?axxijinj，总有正交变换x＝Ty，使f化成标准型
22f??1y12??2y2????nyn,
其中?1,?2,?,?n是f的矩阵A＝（aij）的特征值.
用正交变换把二次型化为标准型，这在理论上和实际应用上都是非常重要的，而此方法的具体步骤就是上节所介绍的化实对称矩阵为对角矩阵的三个步骤.
用正交变换化二次型为标准型，具有保持几何形状不变的优点.如果不限于用正交变换，那么还可有多种方法把二次型化成标准型.如配方法，初等变换法等等
一般地，任何二次型都可用上面两例的方法找到可逆变换化成标准型，且由定理9可知，标准型中所含有的项数就是二次型的秩.
我们知道化二次型为标准型就是寻求可逆矩阵C，使C′AC成为对角矩阵.这里A为二次型的矩阵，而任一可逆矩阵又可分解为若干初等矩阵之积.从而我们有
定理11 对实对称矩阵A，一定存在一系列初等矩阵E1,E2,?Es，使得
Es??E2?E1?AE1E2?Es?diag(d1,d2,?,dn).
关于初等矩阵，易见
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E?(i,j)?E(i,j),E?(i(k))?E(i(k)),E?(i?j(k))?E(i?j(k)).
记C?E1,E2,?,Es.则上述定理还表明：对A同时施行一系列同类的初等行、列变换，得到对角矩阵，而相应地将
这一系列的初等列变换施加于单位阵，就得到变换矩阵C.其具体做法是将n阶单位阵E放在二次型的矩阵A的下面，形成一个2n×n矩阵.对此矩阵作相同的行、列变换，把A化成对角形的同时，把单位阵化成了可逆变换矩阵C，这就是初等变换法.
§5 正定二次型
上节我们用不同的方法，把一个二次型化为标准型.从例16和例18可知，化二次型为标准型时，可用不同的变换矩阵，且所得标准型也不相同.即二次型的标准型是不惟一的.但正如我们前面所说，二次型的秩是惟一的.在化标准型的过程中是不变的.即一个二次型的两个不同标准型中含有的非零平方项数是相同的，都等于二次型的秩.不仅如此，在实可逆变换下，标准型中正系数的个数是不变的(从而负系数的个数不变，正、负系数个数之差——符号差也不变).即有如下定理.
定理12(惯性定理) 设有二次型f＝x′Ａx，它的秩为r，有两个实的非退化线性变换x＝Ｃy，及x＝Ｐz，使
2f?k1y12?k2y2???kryr2(ki?0)
及
2f??1z12??2z2????rzr2(?i?0),
则k1,k2,?,kr中正数的个数与?1,?2,?,?r中正数的个数相同.
定义9 二次型f(x1, x2,?, xr)的标准型中，系数为正的平方项的个数p称为此二次型的正惯性指数，系数为负的平方项的个数r－p称为负惯性指数，s＝２p－r称为符号差.这里r为二次型f的秩.
比较常用的二次型是p＝n的情形.
定义10 设有二次型f（x）＝x′Ax，如果对任何x≠0，都有f（x）＞０（显然f（0）＝0），则称f为正定二次型，称A为正定矩阵；如果对任何x≠0，都有f（x）＜0，则称f为负定二次型，其矩阵A为负定矩阵.
定理13 f＝x′A x为正定二次型的充分必要条件是：它的正惯性指数等于n. 证 设可逆变换x＝Cy，使
f（x）＝f（Cy）＝
设ki＞０(i＝１，２，?，n)，任给x≠0，有y＝C
－１
?kyii?12in2i.
x≠0，从而
f（x）＝f（Cy）＝
即f是正定二次型.
反之假设有某个s (1≤s≤n)，使ks≤0.则当y＝es时
?kyii?1n?0,
f（Ces）= ks≤0.
这与f为正定相矛盾.故必有ki＞０(i＝１，２，?，n).
推论 对称矩阵A正定，当且仅当A的特征值全为正.
完全相似地，我们有二次型f为负定二次型当且仅当它的负惯性指数等于n，对称矩阵A为负定矩阵当且仅当它的所有特征值全为负.
下面我们不加证明的介绍判定矩阵正(负)定的一个充分必要条件，即 定理14 对称矩阵A正定，当且仅当A的各阶(顺序)主子式全为正，即：
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a11a21?ar1a12?a1ra22?a2r??ar2?arra11a12?a1ra22?a2r??
第六章 二 次 型
?0,r?1,2,?,n.
对称矩阵A负定当且仅当A的奇数阶(顺序)主子式为负，偶数阶(顺序)主子式为正，即：
(?1)ra21?ar1?0,r?1,2,?,n.
ar2?arr一、二次型及其矩阵表示
1、二次型的定义：以数域P中的数为系数，关于x1,x2,?,xn的二次齐次多项式
22f(x1,x2,?,xn)?a11x12?a22x2???annxn?2a12x1x2???2a1nx1xn?2a23x2x3???2an?1nxn?1xn
称为数域P上的一个n元二次型，简称二次型。
2、二次型的矩阵表示 设n阶对称矩阵
?a11??aA??12???a?1n则n元二次型可表示为下列矩阵形式：
?a1n??a22?a2n? ?????a2n?ann??a12a22?a2n?a1n??x1?????a2n??x2??XTAX????????????ann???xn?a12?a11??a12f(x1,x2,?,xn)?(x1,x2,?,xn)????a?1n其中
X?(x1,x2,?,xn)T。对称矩阵A称为二次型的系数矩阵，简称为二次型的矩阵。矩阵A的秩称为二次型
f(x1,x2,?,xn)的秩。
二次型与非零对称矩阵一一对应。即，给定一个二次型，则确定了一个非零的对称矩阵作为其系数矩阵；反之，给定一个非零的对称矩阵，则确定了一个二次型以给定的对称矩阵为其系数矩阵。
3、线性变换
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