第三章 n维向量空间
§3.1 n维向量的定义 1. 定义
定义：n个数a1,a2,?,an构成的有序数组, 记作??(a1,a2,?,an),
称为n维行向量． ai–– 称为向量?的第i个分量
ai?R–– 称?为实向量（下面主要讨论实向量）
ai?C–– 称?为复向量
零向量：??(0,0,?,0)
负向量：(??)?(?a1,?a2,?,?an)
??a1?a????2??列向量：n个数a1,a2,?,a???n构成的有序数组, 记作?a?n?, 或者??(a1,a2,?,aTn), 称为n维列向量．
??0?????0???a1??a???(??)??2???????零向量：
?0??? 负向量：??a?n? 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．
§3.2 n维向量的线性运算 1．定义
线性运算：??(a1,a2,?,an), ??(b1,b2,?,bn)
相等：若ai?bi(i?1,2,?,n), 称???．
???Δ 加法：?(a1?b1,a2?b2,?,an?bn)
??Δ 数乘：k(ka1,ka2,?,kan) 减法：????Δ??(??)?(a1?b1,a2?b2,?,an?bn)
2．线性运算律：
??(a1,a2,?,an), ??(b1,b2,?,bn), ??(c1,c2,?,cn) (1)
??????? (5) 1???
(2) (???)?????(???) (6) k(l?)?(kl)? (3) ????? (7) k(???)?k??k?
(4) ??(??)?? (8) (k?l)??k??l?
§3.3 向量组的线性相关性 1．线性组合与线性表示 对n维向量?及?1,?,?m, 若有数组k1,?,km使得
??k1?1???km?m, 称?为?1,?,?m的线性组合,
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或?可由?1,?,?m线性表示．
例如， ?
?2???1??0??0??0??5?0??1??0
????,?,?0???1???2???,?3???,?4有
? ?3??0??0??1????0??
??02??????10????0??0??0??0???0???1??
?????? ??5??2?0????51??0??0? 即 ? =2 ? 1 ? 5 ? 2 ? 3 ? ?，3 0???0???0???3??1???0??0????3?所以称?是?1,?2,3,??0?4?4的线性组合，或??0????可由?0????1,?2?,0????3?,?4线性表示。?1? 判别?是否可由向量组?1,?2,?3,?,?m线性表示的定理：
定理1 向量?可由向量组?1,?2,?3,?,?m线性表示的充分必要条件是：
以?1,?2,?3,?,?m为系数列向量，以?为常数项列向量的线性方程组有解，且一个解就是线性表示的系数。
2．向量组的线性相关性
对n维向量组
?1,?,?m, 若有数组k1,?,km不全为0, 使得
k1?1???km?m?0
称向量组
?1,?,?m线性相关, 否则称为线性无关．
线性无关：对n维向量组?1,?,?m, 仅当数组k1,?,km全为0时, 才有 k1?1???km?m?0
称向量组?1,?,?m线性无关, 否则称为线性相关．
定理2 向量组
?1,?2,?,?m?4?0?1?2?2?1?3线性相关?
其中至少有一个向量可由其余?1,?2,?3个向量线性表示．
推论：向量组
?1,?2,?,?m?4?0?1?2?2?1?3线性无关?
任何一个向量都不可由其余
?1,?2,?3个向量线性表示．
定理3 n维向量组?1,?2,?,?m线性相关?Ax?0有非零解，其中A?(?1,?2,?,?m)。
推论：n维向量组?1,?2,?,?m线性无关?Ax?0只有零解，其中A?(?1,?2,?,?m)。
定理4 若向量组?1,?2,?,?m线性无关, ?1,?2,?,?m,?线性相关,
则?可由?1,?2,?,?m线性表示, 且表示式唯一． 一些结论：
(1) 单个零向量线性相关,单个非零向量线性无关； (2) 含零向量的任何向量组线性相关；
(3) 基本向量组e1,e2,?,en线性无关； (4) 有两个向量相等的向量组线性相关；
(5) m>n时， m 个n维向量必线性相关. 特别：m=n+1 ； (6) n个n维向量线性无关?它们所构成方阵的行列式不为零； (7) n维向量空间任一线性无关组最多只能包含n 向量. §3.4 向量组的极大线性无关组 1. 等价向量组 设向量组T1:?1,?2,?,?r, T2:?1,?2,?,?s
若?i(i?1,2,?,r)可由?1,?2,?,?s线性表示, 称T1可由T2线性表示；
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若T1与T2可以互相线性表示, 称T1与T2等价． (1) 自反性：T1与T1等价 (2) 对称性：T1与T2等价?(3) 传递性：T1与T2等价, 等价向量组的基本性质：
T2与T1等价
T2与T3等价?T1与T3等价
定理 设?1,?2,?,?s与?1,?2,?,?s是两个向量组，如果 (1) 向量组?1,?2,?,?s可以由向量组?1,?2,?,?s线性表示；
s?t
则向量组?1,?2,?,?s必线性相关。
(2)
推论1向量组?1,?2,?,?s可以由向量组?1,?2,?,?s线性表示，并且
?1,?2,?,?s线性无关，那么s?t。
推论2 两个线性无关的等价的向量组，必包含相同个数的向量。 2．向量组的极大线性无关组
A, 如果在A中有r个向量?1,?2,?,?r满足： A?,?,?,?r线性无关；
(1) 0:12设向量组为
(2) 任意r?1个向量线性相关（如果有r?1个向量的话）．
r为向量组为A的一个极大线性无关组，简称极大无关组。 称12注：(1) 只含零向量的向量组没有极大无关组；
(2) 一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身； (3) 一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组表示。 例如，在向量组
?,?,?,??2??4??2?????????1???2???1??1???,?2???,?3???354???????1??4???1???????中，首先?1,?2线性无关，又?1,?2,?3线性相关，所以?1,?2组成的
部分组是极大无关组。还可以验证?2,?3也是一个极大无关组。
注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。
极大无关组的基本性质：
性质1 任何一个极大无关组都与向量组本身等价。 性质2 向量组的任意两个极大无关组都是等价的。
定理 一个向量组的任意两个极大无关组等价，且所包含向量的个数相同。
3．向量组的秩与矩阵秩的关系 3.1 向量组的秩
定义3 向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩，记做
r(?1,?2,?,?s)。
?2??4??2????????1?2??????1??1???,?2???,?3???354???????1??4???1???????的秩为2. 例如，向量组
关于向量组的秩的结论:
(1) 零向量组的秩为0；
(2) 向量组
?1,?2,?,?s线性无关?r(?1,?2,?,?s)?s，
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向量组?1,?2,?,?s线性相关?r(?1,?2,?,?s)?s.，
(3) 如果向量组?1,?2,?,?s可以由向量组?1,?2,?,?t线性表示，则r(?1,?2,?,?s)?r(?1,?2,?,?s); (4) 等价的向量组必有相同的秩。 注：两个有相同的秩的向量组不一定等价。
两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个线性表示，则这两个向量组等价。
3.2 矩阵的秩
3.2.1 行秩、列秩、矩阵的秩
把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向量组成， 把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列向量组成。 定义4：矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩; 矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。 问题：矩阵的行秩等于矩阵的列秩吗？
引理1: 矩阵的初等行(列)变换不改变矩阵的行(列)秩。 引理2：矩阵的初等行(列)变换不改变矩阵的列(行)秩。 综上，矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。 定理：矩阵的行秩＝矩阵的列秩。
定义5：矩阵的行秩＝矩阵的列秩，统称为矩阵的秩。
记为r(A),或rankA，或秩A。
推论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。
3.2.2矩阵秩的求法
首先复习: 行阶梯形矩阵和行最简形矩阵的概念和特点。
对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。 结论：行阶梯形矩阵的秩＝非零行的行数 求矩阵秩的方法:
把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，则行阶梯形矩阵中非零行的行数就是原来矩阵的秩。 求向量组的秩、极大无关组的步骤：
(1) 向量组?1,?2,?,?s作列向量构成矩阵
A；
(2) (行最简形矩阵) (3) 求出B的列向量组的极大无关组
(4) A中与B的列向量组的极大无关组相对应部分的列向量组，即为A的极大无关组。 3.2.3 矩阵秩的性质
(1) 等价的矩阵，秩相同；
(2) 任意矩阵A，有r(A)?r(A)； (3) 任何矩阵与可逆矩阵相乘，秩不变。 若P可逆，对于任意的矩阵(4) 对于
TA初等行变换BA，有r(PA)?r(A)?r(AP)
Am?n,Bn?p,
3.3 矩阵的秩与行列式的关系 定理
?r(A?B)?r(A)?r(B);?r(AB)?min{r(A),r(B)};???r(AB)?r(A)?r(B)?n;?有r(A)?r(B)?n. ?当AB?O时，n阶方阵A，
r(A)?n?A的n个行(列)向量组线性无关
?A?0, 即A为可逆矩阵(也称为满秩矩阵) ?A?0.r(A)?n?A的n个行(列)向量组线性相关
§3.5 向量空间 1．向量空间的概念
定义1： 设 V 为n 维向量的集合，如果集合V 非空，且集合V 对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合V 为向量空 13
间．
说明：集合 V 对于加法及数乘两种运算封闭指
??,??V,有????V;
有k????V,k?R,?V.
一般地，由向量组a1,a2,?,am所生成的向量空间为
2．向量空间的基与维数
V?{x??1a1??2a2????mam?1,?2,?,?m?R}
定义2：设V是向量空间，如果r个向量?1,?2,?,?r (1)
?V，且满足
?1,?2,?,?r线性无关；
(2) V中任何一向量都可由?1,?2,?,?r线性表示，那么，就称向量组?1,?2,?,?r是向量空间V的一个基，r成为向量空间V的维数，记作dimV＝r，并称V是r维向量空间。 注：（1）只含有零向量的向量空间没有基，规定其维数为0。
（2）如果把向量空间看作向量组，可知，V的基就是向量组的极大无关组，V的维数就是向量组的秩。 （3）向量空间的基不唯一。 3．向量在基下的坐标 定义3：设向量空间V的基为 表示式
基
?1,?,?r, 对于???V,
??x1?1???xr?r唯一（定理2）, 称(x1,?,xr)T为?在
?1,?,?r下的坐标（列向量）．
?,?,?r下的坐标为r维列向量．
注： ?为n维向量, ?在V的基1 因为线性无关的“n维向量组”最多含有n个向量, 所以由
n维向量构成的向量空间的基中最多含有n个向量, 故r§3.5 欧式空间 1． 内积的概念
?n．
?a1??b1?????a?2??b2?????,???????????a??b?n???n?，称(?,?)?a1b1?a2b2???anbn 定义1：n维实向量
?b1????b???a1,a2,?,an??2???T?????b??n?
为?和?的内积。
若?,?为行向量，则(?,?)向量空间的性质： (1) (2) (3) (4)
???T。
(?,?)?(?,?)
(???,?)?(?,?)?(?,?) (k?,?)?k(?,?)
(?,?)?0等号成立当且仅当??0
为向量的长度(或模，或范数)。
222??(?,?)?a?a???a12n定义2 实数
若
??1，称?为单位向量。
?0,则??0，考虑
把向量单位化：若?
(??112?,)?2(?,?)?2??1?????，即
的模为1，为单位向量，称
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