A??aij?3?2,B??bjt?2?3，则AB与BA都有意义，但其阶数不同；
c)即使AB与BA其阶数相同，但AB与BA也未必相同；如果AB=BA，则称A与B是可以交换的。
例如
?11??11???A??,B??11???1?1??，则AB与BA都有意义，但是AB?BA ????2）矩阵的乘法不满足消去律， 即一般地若
AB?AC,A?0，推不出B?C，例如若AX?0,A?0,推不出X?0
T3）若
AB有意义，则?AB??BTAT
3 几种特殊类型的矩阵
（1）0矩阵；（2）单位矩阵；（3）对角矩阵；数量矩阵；（4）三角矩阵；上三角、下三角矩阵； （5）对称矩阵：若
A??aij?n?n,aij?aji，即A?AT；
（6）反对称矩阵：若
A??aij?n?n,aij?-aji，即A?-AT；
A?0;
关于反对称矩阵常用的结论：1）A的主对角线上的元素全是0；2）若A是奇数阶行列式，则
(7)正交矩阵：若
A满足：AAT?ATA?E或AT?A?1，则称A是正交矩阵。
关于正交矩阵与对称矩阵的关系有：若A是一个实对称矩阵，则存在一个正交矩阵T使得：
??1??????2?； TTAT?T?1AT??????n?1?????n??（8）阶梯形矩阵
若A满足：0行全在非0行的下方，非0行的第一个非0的数它的下面的数全是0（若有的话）； 关于阶梯形矩阵：任意一个矩阵A都可以通过初等变换化为阶梯形矩阵；
（9）分块矩阵；对一个矩阵进行适当的分快，可以带来很多方便，它有很多的应用；
（10）初等矩阵：初等矩阵与矩阵的初等变换关系非常密切，要充分理解它的概念和它的作用。
4 分块矩阵
当一个矩阵的阶数较高时，对此矩阵进行恰当的分块，更能容易看清其矩阵的规律和问题的结构特点。 矩阵分块的原则：在同一行中，其各个块矩阵的行数一致，在同一列中，其块矩阵列数一致； 分块矩阵运算的原则：
5
（1）分块矩阵的加法：若A+B,其对矩阵A,B的分块方法完全一致；
（2）分块矩阵的乘法：若AB，其对第一个矩阵的列的分法同第二个矩阵行的分法完全一致。 5初等矩阵、矩阵的初等变换、矩阵的等价
（1）初等矩阵的定义：对单位矩阵进行一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵； 用四阶单位矩阵来说明初等矩阵的几种形式。 （2）初等变换
初等行变换、初等列变换； （3）初等变换与初等矩阵之间的关系
对矩阵A做一次初等行变换成为B，则B=PA（其中P是与行变换相对应的初等矩阵）举例说明：
?12?2??12A???23?1??2???r?1?(??2)??r2???0?13???B
??131????131???12?2??100??12则B?PA即B???0?13??????210????2??23?1???
?131????001????131??对于矩阵A作一次初等列变换成为B，则B=AP（其中P是与上述列变换相对应的初等矩阵）。
?举例说明A??12?2??23?1??10?2???c?1?(??2)??c2?????2?1?1??B ?131????111???10?2??12?2??1?B???2?1?1?????23?1???20??010??
??111????131????001??(4)矩阵A与B等价
如果A能够通过初等变换变为B则称A与B等价，用式子表示就是：
B?PtPt?1?P1AQ1Q2?Qs,其中Pi,Qj是初等矩阵
每一个矩阵A都与矩阵???Er0??00??等价，其中r是矩阵A的秩，即存在 ?初等矩阵P使得：P?P?Er0?i,QjtPt?11AQ1Q2?Qs????00?? ?6 关于n阶矩阵的逆矩阵 6
（1）逆矩阵的定义：设A是一个n阶矩阵，若有n阶方阵B使得
AB=E或BA=E
则称矩阵A是可逆的；
（2）n阶方阵A可逆的充要条件
1）用矩阵的方式描述：存在矩阵B使得 AB=E或BA=E(即定义）； 2）用A的行列式
A来描述：A?0;
3）用矩阵的秩来描述：r(A)?n这里n是矩阵A的阶数； 4）用向量的观点来描述：矩阵A的行向量组（或列向量组）线性无关； 5）用方程组的观点来描述：方程组AX=0仅有0解； 6）用矩阵A的特征值来描述：A的特征值全不0；
（3）逆矩阵的性质
1）若A有逆矩阵，则逆矩阵是唯一的； 2）若A,B是同阶可逆矩阵，则AB也可逆，且3）
?AB??1?B?1A?1;
?1?A??1?1?A,AT?1???1?(A?1)T,?kA??k?1A?1，A?1?A,An?1???1?A?1??;
n?A?1?A0?4）??0B?????0???
（4）逆矩阵的求法
0??0?,??1??B??BA??0??1????A0???1B?1??0????1?0???BA?1?? 0??1）具体的数字矩阵常用的方法是用伴随矩阵的方法；或用初等变换的方法。这是两种最基本的方法，应该熟练，特别是对于三阶矩阵；
初等变换求逆矩阵的方法：
?A|E??一系列初等行变换???????E|B?，则B?A?1
2）对于抽象的矩阵A,求此逆矩阵，常用的方法是想办法找到矩阵B使得：AB=E，或BA=E，此时的B就是所求的逆矩阵；
3）如果要判断矩阵A是否可逆，就考虑上述的矩阵可逆的充要条件；
（5）关于伴随矩阵
1)伴随矩阵的定义，强调伴随矩阵中元素的构成规律； 2)伴随矩阵常用的性质 对于任意的方阵A均有此伴随矩阵
A*
7
使得AA*?A*A?AE
当
A?0时，A?1?1*A,当A?0时：AA*?A*A?0 A对于一般地方阵A，其伴随矩阵
A*的秩为：
?n若r(A)?n?r(A*)??1若r(A)?n?1
?0若r(A)?n?2?当
A?0时，A*?An?1,当A?0时A*?0。
（6）关于矩阵的秩
1）矩阵秩的定义：在矩阵A中，有一个不等于0的r阶子式Dr，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于0，那么r称为矩阵A的秩，Dr称为矩阵A的最高阶非0子式。规定0矩阵的秩是0。
2）矩阵的秩与初等变换的关系：对矩阵A实行初等变换其秩不变
A?一系列初等变换?B，则r(A)?r(B)
3）矩阵秩的求法 应用上面的结论，求矩阵A的秩其一般方法是
A?一系列初等变换?????T（T是阶梯型矩阵），
则r（A）?r(T)?T的非0行的行数
4）有关矩阵秩的重要结论
r?A??rAT?rAAT（若A是实矩阵）
????若A?0，则1?r(A)?min?m,n?
r(A?B)?r(A)?r(B),r?AB??min?r(A),r(B)?,max?r(A),r(B)??r?A|B??r(A)?r(B)
若P、Q分别是可逆矩阵，且下列运算有意义，则
r(A)?r(PA)?r(AQ)?r(PAQ)
?A0??0??r??r(A)?r(B),r?0B??B???若A为m?n矩阵，B为n?s矩阵，且AB=0，则：
A???r(A)?r(B) 0??r(A)?r(B)?n
8
此外，矩阵的秩常常和向量组的秩联系起来，注意和向量组的秩的关系。
二 常见题型
题型一：有关矩阵运算律的考察和相关概念的考查 在考虑矩阵的乘积可交换时，常常利用题型二 矩阵可逆的计算与证明
（1）对于具体的三阶、四阶的数字矩阵求此逆，初等变换的方法一定要会，用伴随矩阵的方法要基本清楚； （2）如果给定了抽象的条件，要求
AA?1?A?1A?E来进行。
A?1，此时注意将条件转化为AB=E，或BA=E,此时的B就是要求的A?1。
在处理有关矩阵逆的问题的时候，注意逆矩阵的性质以及前面所讲的矩阵可逆的充要条件。
题型三 关于伴随矩阵
逆矩阵常常与伴随矩阵相联系，此外伴随矩阵也是多年来考察的热点。这类问题多注意伴随矩阵的定义以及与逆矩阵的关系。
题型四 有关初等矩阵及其初等变换的问题 题型五 解矩阵方程
将所给的条件转化为矩阵方程：对于矩阵方程或者先求出
AX?B或XA?B或AXC?B这里的矩阵A,C一般地都是可逆矩阵。
?A|B??初等行变换AX?B，其一般的解法为：?????E|D?，则这里的矩阵D?A?1B；
A?1，再计算A?1B。
对于其他类型的矩阵方程类似地可以给出求解方法。
题型5 关于矩阵的秩
1 具体的数字矩阵求秩，用初等变换进行，对矩阵A实行初等变换使之称为阶梯形矩阵T,由此可求出矩阵A的秩（在初等变换下，矩阵的秩不变）；
2 利用矩阵的秩，等于矩阵A的行向量组的秩，等于矩阵A的列向量组的秩等性质。 3 注意矩阵秩的有关不等式。 题型6 求一个方阵的高次幂 当A是一个方阵的时候，
9
Ak才有意义，否则没有意义。