x?x?x,cos(x?y)=x?y, xy且在直角坐标系中(x1,x2,x3)?(y1,y2,y3)=x1y1?x2y2?x3y3.
将上述三维向量的内积概念自然地推广到n维向量上，就有如下定义。 定义1 设有n维向量
??x1??y1?x??x??2??，y??y?2?，
???????x???n??yn?称
?x,y??x1y1?x2y2???xnyn为x与y的内积.
内积是向量的一种运算，用矩阵形式可表为
?x,y??x?y.
若ｘ、ｙ、ｚ为n维实向量，λ为实数，则下列性质从内积的定义可立刻推得. (i) ［x,y］＝［y,x］， (ii)［λx,y］＝λ［x,y］， (iii)［x+y,z］＝［x,z］＋［y,z］.
同三维向量空间一样，可用内积定义n维向量的长度和夹角. 定义2 称
x?x?x?x22???x21?x2n为向量x的长度(或范数)，当‖x‖＝1时称x为单位向量.
从向量长度的定义可立刻推得以下基本性质：
（ｉ）非负性： 当x≠0时，‖x‖＞０，当x＝０时‖x‖＝０. （ｉｉ）齐次性： ‖λx‖＝｜λ｜‖x‖. （ｉｉｉ）三角不等式： ‖x＋y‖≤‖x‖＋‖y‖.
（ｉｖ）柯西-许瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式: ［x，y］２
≤‖x‖２
‖y‖２
. 由柯西-许瓦茨不等式可得
?x,y?x?y≤１（‖x‖·‖y‖≠０）.
于是我们定义，当‖ｘ‖≠０，‖ｙ‖≠0时，称
??arccos?x,y?x?y
为x与y的夹角.当［x，y］＝０时，称x与y正交.
显然，n维零向量与任意n维向量正交. 称一组两两正交的非零向量组为正交向量组.
定理1 若n维非零向量?1,?2,?,?r为正交向量组，则它们为线性无关向量组.
证 设有?1,?r2,?,?r使
?λi?i?0.，分别用?k与上式两端作内积(k＝１，２，?，r)，即得
i?1?k??k,?k????k,0??0.
20
因?k?0，故??k,?k???k2?0，从而?k?0,k?1,2,?,r，于是?1,?2,?,?r线性无关.
在研究向量空间的问题时，常采用正交向量组作为向量空间的一组基，以便使问题得到简化，那么n维向量空间的正交基(基中向量两两正交)是否存在呢?
定理 2 若?1,?2,?,?r是正交向量组，且ｒ＜n，则必存在n维非零向量x，使?1,?2,?,?r，x也为正交向量组. 证 x应满足?1?x?0,?2?x?0,?,?r?x?0，即
?????0??1??0???2????x???.
????????????0???r?记
?????1?????A??2?,
????????r?则R(A)?r推论r个（r?n，故齐次线性方程组Ax＝０必有非零解，此非零解即为所求.
?n）两两正交的n维非零向量总可以扩充成Rn的一个正交基.
?Rn)的一个基，如果e1,e2,?,er两两正交，且都是单位向量，
定义3 设n维向量e1,e2,?,er是向量空间V(V则称之为V的一个正交规范基(标准正交基).
若e1,e2,?,er是V的一个正交规范基，则V中任一向量?可由e1,e2,?,er惟一线性表示，设为
???1e1??2e2????rer,
则由
ei????iei?ei??i，
得?i=ei????ei,??,?i惟一确定，i＝１,２，?，r.
下面介绍将向量空间V(V下：
取
?Rn)的任一基?1,?2,?,?r转换为一正交规范基的Schmidt正交化方法，其具体步骤如
??1,?2??,???1,?1?1
??,????,????,???r??r?1r?1?2r?2???r?1r?r?1,??1,?1???2,?2???r?1,?r?1??1??1,?2??2?
21
容易验证?1,?2,?,?r两两正交，非零.然后将它们单位化，即令
e1?则e1,e2,?,er就是V的一个正交规范基.
定义4 如果n阶方阵满足A′A＝E（即A用A的列向量表示，即是
－１
?1??,e2?2,?,er?r, ?1?2?r＝A′），就称A为正交矩阵.
?????1???2????(?1,?2,?,?n)=E, ????????n?亦即
(?i??j)=(?ij).
由此得到n个关系式
２
?i??j=?ij=??1i?j,i,j?1,2,?,n.
0i?j?这说明，方阵A为正交矩阵的充分必要条件是：A的列向量组构成Rn的正交规范基，注意到Ａ′Ａ＝Ｅ＝ＡＡ′，所以上述结论对A的行向量组也成立.
由正交矩阵定义，不难得到下列性质. （i）若A是正交矩阵，则｜Ａ｜＝１. （ii）若A是正交矩阵，则Ａ′，Ａ－１２
也是正交矩阵.
（iii）若Ａ，Ｂ是n阶正交矩阵，则AB也是正交矩阵. 定义5 若T是正交矩阵，则线性变换y＝Ｔx称为正交变换. 设y＝Ｔx是正交变换，则有
y?y?y?x?T?Tx?x?x?x.
这表明，经正交变换向量的长度保持不变，这是正交变换的优良特性之一.其实正交变换相当于反射和旋转的叠合，例如
??cos?T???sin?sin??
cos???为正交矩阵，正交变换y＝Ｔx相当于旋转θ角，再关于纵轴对称反射.
§2 方阵的特征值和特征向量
定义6 设A为n阶方阵，若存在数λ和非零n维向量x，使得
Ａx＝λx， （5.1）
则称λ为矩阵A的特征值，称x为矩阵A对应于特征值λ的特征向量.
(5.1)式也可写成
（Ａ－λＥ）x＝０. （5.2）
22
(5.2)式的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是
｜Ａ－λＥ｜＝０. （5.３）
(5.3)式的左端为λ的n次多项式，因此A的特征值就是该多项式的根.记f(λ)=|Ａ-λＥ|，称为A的特征多项式，则矩阵A的特征值即为其特征多项式的根.方程(5.3)称为A的特征方程，特征方程在复数范围内恒有解.其个数为方程的次数(重根按重数计算)，因此n阶方阵A有n个特征值.
设λ＝λi为其中的一个特征值，则由方程
（Ａ－λiＥ）x＝0
可求得非零解x＝pi，那么pi便是A的对应于特征值λi的特征向量(若λi为实数，则pi可取实向量，若λi为复数，则pi为复向量.)
显然，若pi是对应于特征值λi的特征向量，则kpi（k≠０）也是对应于λi的特征向量，所以特征向量不能由特征值惟一确定，反之，不同的特征值所对应的特征向量绝不会相等，也即一个特征向量只能属于一个特征值. 的特征值和特征向量.
归纳出具体计算特征值、特征向量的步骤. 第一步：计算特征多项式｜A－λE｜.
第二步：求出｜A－λE｜＝0的全部根，它们就是A的全部特征值.
第三步：对于A的每一个特征值λi，求相应的齐次线性方程组(Ａ－λiE)x＝0的一个基础解系
?1,?2,?,?r，
则对于不全为零的任意常数k1,k2,?,kr，
k1?1?k2?2???kr?r
即为对应于λｉ的全部特征向量. 定理3 设λ1，λ2，?，λp2，?，pm线性无关.
证 设有常数x1，x2，?，xm，使
x1 p1+ x2 p2+?+ xm pm =0,
则
A(x1 p1+ x2 p2+?+ xm pm) =0,
即
m是方阵
A的m个互不相同的特征值，p1，p2，?，pm依次是与之对应的特征向量，则p1，
?1x1p1??2x2p2????mxmpm?0.
类推有
?kx1p1??kx2p2????kxmpm?0(k?1,2,?,m?1).
12m把上列各式合写成矩阵形式，得
?1?1??1m?1???m?11?????=O. 22(x1 p1，x2 p2，?，xm pm)
???????m?1??1?m??m??上式等号左边第二个矩阵的行列式为范德蒙行列式，当λ即xipi＝0，但pi≠0，故xi＝0，i＝1，2，?，m.
所以向量组p1，p2，?，pm线性无关.
23
ｉ各不相同时，该矩阵可逆，于是有
(x1 p1，x2 p2，?，xm pm) =O，
§3 相似矩阵
定义7 设A与B是n阶方阵，如果存在一个可逆矩阵P，使
B＝P ?1AP，
则称A与B是相似的.
定理 4 若n阶方阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从而A与B的特征值相同. 证 因A与B相似，即有可逆矩阵P，使P－１AP＝B，故
|B－λE|＝| P ?1AP－P ?1(λE)P|＝| P ?1（A－λE）P|
＝｜P ?1｜｜A－λE｜｜P｜＝｜A－λE｜.
推论 若n阶方阵A与对角矩阵diag (λ1，λ2，?，λn)相似，则λ1，λ2，?，λn即是A的特征值.
证 因λ1，λ2，?，λn是diag（λ1，λ2，?，λn）的n个特征值.由定理4知λ1，λ2，?，λn也就是A的特征值. 关于相似矩阵我们关心的一个问题是，与A相似的矩阵中，最简单的形式是什么?由于对角矩阵最简单，于是考虑是否任何一个方阵都相似于一个对角矩阵呢?下面我们就来研究这个问题.
如果n阶矩阵A能相似于对角矩阵，则称A可对角化.
现设已找到可逆矩阵P，使P ?1AP＝Λ＝diag（λ1，λ2，?，λn）.把P用其列向量表示为Ｐ＝（λ1，λ2，?，λn），由P ?1AP＝Λ，得AP＝PΛ，即
A（p1，p2，?，pn）＝（p1，p2，?，pn）diag（λ1，λ2，?，λn）
＝（λ1 p1，λ2 p2，?，λn pn）.
于是有
A pi＝λi pi （i＝1，2，?，n）.
可见P的列向量pi就是A的对应于特征值λi的特征向量.又因P可逆，所以p1，p2，?，pn线性无关.由于上述推导过程可以反推回去.因此，关于矩阵A的对角化有如下结论：
定理5 n阶方阵A可对角化的充分必要条件是：A有n个线性无关的特征向量p1，p2，?，pn，并且以它们为列向量组的矩阵P，能使P ?1AP为对角矩阵.而且此对角矩阵的主对角线元素依次是与p1，p2，?，pn对应的A的特征值λ1，λ2，?，λn.
现在的问题是：对于任一矩阵A，是否一定存在n个线性无关的特征向量，答案是否定的，在上节例7中A的特征方程有重根.但仍能找到3个线性无关的特征向量，但在例6中A的特征方程亦有重根，却找不到3个线性无关的特征向量.从而例6中矩阵A不能与对角矩阵相似.
在矩阵中有一类特殊矩阵，即实对称矩阵是一定可以对角化的，并且对于实对称矩阵A不仅能找到可逆矩阵P，使得P ?1AP为对角阵，而且还能够找到一个正交矩阵T，使T ?1AT为对角矩阵.
定理6 实对称矩阵的特征值都是实数.
证 设复数λ为实对称矩阵A的特征值，复向量x为对应的特征向量，即Ａx＝λx，x≠0. 用?表示?的共轭复数，
x表示x的共轭复向量，则
Ax?Ax?(Ax)??x??x.
于是有
x?Ax?x??x=?x?x
及
x?Ax?(x?A?)x=(Ax)?x=(?x)?x=?x?x.
两式相减，得
(???)x?x?0.
24