设x1,x2,?,xn和
y1,y2,?,yn为两组变量，关系式
?x1?c11y1?c12y2???c1nyn?x?cy?cy???cy?22112222nn?? ? ? ? ? ? ??xn?cn1y1?cn2y2???cnnyn其中cij(i,性变换。
j?1,2,?,n)为实数域R(或复数域C)中的数，称为由x1,x2,?,xn到y1,y2,?,yn线性变换，简称线
?c11c12??c21c22线性变换的矩阵表示，设n阶矩阵C??????c?n1cn2示为下列矩阵形式：
1) 当
?c1n???c2n?，则从x1,x2,?,xn到y1,y2,?,yn线性变换可表?????cnn??X?CY，其中X?(x1,x2,?,xn)T，Y?(y1,y2,?,yn)T，C称为线性变换的系数矩阵。
C?0时，线性变换X?CY称为非退化的线性变换。
2) 当C是正交矩阵时，称3) 线性变换的乘法。 设
X?CY为正交线性变换，简称正交变换。
X?C1Y是由
x1,x2,?,xn到
y1,y2,?,yn的非退化的线性变换，而
Y?C2Z是
y1,y2,?,yn到
z1,z2,?,zn的非退化的线性变换，则由x1,x2,?,xn到z1,z2,?,zn的非退化的线性变换为：X?(C1C2)Z。
二次型
f(x1,x2,?,xn)?XTAX经过非退化的线性变换X?CY化为f(x1,x2,?,xn)?YTBY (其中
B?CTAC) 仍是一个二次型。
4、矩阵的合同关系：对于数域P上的两个n阶矩阵合同的，记为
A和B，如果存在可逆矩阵C，使得B?CTAC则称A和B是
A?B。
A；
合同关系性质： 1) 反身性：A?2) 对称性：A?3) 传递性：A?B，则B?A；
B，且B?C，则A?C。
5、二次型的标准形
1) 实数域R(或复数域C)上的任意一个二次型都可经过系数在实数域R(或复数域C)中的非退化线性变换化成平方和形式：
22d1y12?d2y2???dnyn
其中非零系数的个数唯一确定，等于该二次型的秩。上述形式的二次型称为二次型的标准形。
2) 任何对称矩阵都与一个对角矩阵合同。
30
3）复二次型的规范形：
任何复系数二次型都可经过复数域C中的非退化线性变换化成如下最简形式平方和：一确定，等于该二次型的秩。上述形式的复二次型称为复二次型的规范形。
2y12?y2???yr2，其中r唯
?1????????1? 任何复数域C上的对称矩阵都合同于一个形如：?0????????0???的对角矩阵，其中1的个数等于该矩阵的秩。
4）实二次型的规范形
任何实系数二次型都可经过实数域
R中的非退化线性变换化成如下最简形式平方和：
2222y12?y2???y2p?yp?1?yp?2???yr，其中p和r唯一确定，r为二次型的秩。上述形式的实二次型称为实二
次型的规范形，
p(正平方项的个数)称为实二次型的正惯性指数，r?p(负平方项的个数)称为实二次型的负惯性指数，
p?(r?p)?2p?r称为实二次型的符号差。
?1????????1???1????
任何实数域R上的对称矩阵都合同于一个形如：??????1??0?????????0??的对角矩阵，其中对角线上非零元素的个数等于矩阵的秩，1的个数由对称矩阵唯一确定，称为它的正惯性指数。
6、利用正交变换化实二次型为标准形 设
A是n阶实对称矩阵，按以下步骤进行：
① 解特征方程
?E?A?0，求出A的全部特征值。
A)X?O，求出基础解系，得到r重特征值的r个线性无关的特征向量。
② 解齐次线性方程组(?E?③ 利用施密特正交化方法，使得属于r重特征值的r个线性无关向量组正交化，并使其单位化。 ④ 将求得的n个单位化正交特征向量组作为矩阵Q的列向量，从而得到所需的正交矩阵Q。
⑤
Q?1AQ为对角矩阵，其对角元素为A的全部实特征值，它们在对角矩阵的排列顺序，与其特征向量在Q中的排列
顺序一致。
31
对于二次型
f?XTAX，令
X?QY，将二次型f?XTAX化成如下形式平方和：
22?1y12??2y2????nyn
其中?1,?2,?,?n为二次型的矩阵的全部特征值。
7、化二次型为标准形 数域
P上的任一个二次型都可经过非退化的线性替换
X?CY化为标准形，即：
22f(x1,x2,?,xn)?XTAX?(CY)TA(CY)?YT(CTAC)Y?YTBY?d1y12?d2y2???dnyn。
二次型的标准形不是唯一的，而标准形中系数不为零和系数为正的平方项的个数都是唯一确定的。 化标准形的方法： 1) 配方法。
?A?初等列变换?D?2) 初等变换法，其要点可简单表示为：??E?????????C??
????其中
A为二次形的矩阵，D为对角矩阵，其对角元素依次为d1,d2,?,dn。注意，在初等变换过程中，作完一次列变换，
A的对称性质始终保持不变。当A化为对角矩阵A的同时，即可得到由变量
。于是当作线性变换
紧接着作一次相应的行变换，这样一来，矩阵
x1,x2,?,xn到y1,y2,?,yn的非退化线性变换系数矩阵Cf?XTAX化为标准形。
X?CY时，则可使二次型
3) 正交变换法：先按上一章利用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的方法求得Q，使Q正交矩阵，Q?1?1AQ为对角矩阵。由于Q为
化为标准形
?QT，所以同时使QTAQ为对角矩阵。于是令正交变换X?QY，则二次型XTAX22YT(QTAQ)Y??1y12??2y2????nyn，其中?1,?2,?,?n为二次型的矩阵的全部特征值。
化规范形的方法： 1) 任一实二次型
f都可经过非退化线性变换
X?QZ，化为规范形，即
222f(x1,x2,?,xn)?XTAX?(QZ)TA(QZ)?ZT(QTAQ)Z?ZT?RZ?z12?z2???z2p?zp?1??zr
(r?n)，称p为二次型的正惯性指数，r?p为二次型的负惯性指数。任一实二次型的规范形是由二次型的秩与正惯性
指数唯一确定的。
2) 任一复二次型都可经过非退化线性变换
X?QZ，化为规范形，即：f
2f(x1,x2,?,xn)?XTAX?(QZ)TA(QZ)?ZT(QTAQ)Z?ZT?CZ?z12?z2???zr2(r?n) ，任一
复二次型的规范形是由其秩唯一确定的。 二、正定二次型和正定矩阵
1、基本概念
32
设实二次型
f(x1,x2,?,xn)，如果对于任意一组不全为零的实数x1,x2,?,xn都有
f(x1,x2,?,xn)?0 (或<0，或≥0，或≤0，或符号不定)
则称二次型
f(x1,x2,?,xn)为正定的(或负定的，或半正定的，或半负定的，或不定的)。
用矩阵形式表示上述定义： 设次型
A为n阶实对称矩阵，若对任意非零向量X，都有
XTAX?0 (或<0，或≥0，或≤0，或符号不定) ，则称二
XTAX为正定的(或负定的，或半正定的，或半负定的，或不定的)，其矩阵A称为正定矩阵(或负定矩阵，或半正定
矩阵，或半负定矩阵，或不定的矩阵)。
2、正定二次型的判定 1）二次型
XTAX是正定的充分必要条件是其矩阵A是正定矩阵。
22???yn。 XTAX是正定的充分必要条件是其正惯性指数为n，即其规范形为y12?y22）n元二次型
3）二次型
XTAX是正定的充分必要条件是其矩阵A的特征值全大于零。
XTAX是正定的充分必要条件是其顺序主子式全大于零，即：?a1k??0(k?1,2,?,n)。
4）n元二次型
a11a21?ak1a12?a22?a2kak2?akk5）实对称矩阵
A是正定的充分必要条件是A与单位矩阵合同。
6）两个正定矩阵的和仍为正定矩阵。 III 题型归纳及思路提示
题型1 二次型对应的矩阵及相关性质 题型2 化二次型为标准形
题型3 已知二次型通过正交变换化为标准形，反求参数 题型4 有关二次型及其矩阵正定性的判定与证明 IV 本章小结
重点难点：1、用正交变换化二次型为标准形；
2、判断矩阵是否为正定矩阵及其性质的证明。
与前几章相比，本章考题出现的频率相对低一些，从内容上看主要有三个方面：1）二次型的标准形问题； 2）用正交变换化二次型为标准形正、反两方面的问题； 3）判断矩阵是否为正定矩阵及其性质的证明。
二次型考到的知识点多，涉及到行列式及矩阵运算、正交矩阵、正交化方法、基础解系、特征值及特征向量等方面，因此这里的题目综合性强。
33
《线性代数》课程必须熟练掌握的方法 1 行列式的计算方法： (1) 运用性质化为上（下）三角形行列式； (2) 运用按行（列）展开，化为低一阶的行列式(最常用的方法，特别是对于含参数的行列式)； (3) 运用分块行列式的性质； (4) 运用递推公式； (5) 运用特殊形式的行列式，如范德蒙行列式的公式; (6) |?A|??n|A|； (7) |AB|?|A||B|； (8) |A|??1?2??n,?i是A的特征值； 【典型题目】： 2 可逆矩阵的判定方法及求逆阵方法： (1) A?E,(A,E)?(E,A?1); (2) |A|?0,A?1?1*; AA*?A*A?|A|E |A|A (3) AB?E(或BA?E)，A?1?B; (4) |A|?0,|B|?0,(AB)?1?B?1A?1. 【典型题目】： 3 矩阵方程的求解方法： (1) AX?B,|A|?0?X?A?1B (A,B)?(E,A?1B) (2) XA?B,|A|?0?X?BA?1 ??A???B????E? ?BA?1??【典型题目】： 4 分块矩阵的应用: (1)分块矩阵的乘法的前提条件(i)左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数； (ii)左边矩阵的列的分块方法与右边矩阵行的分法一致． (2)矩阵按行（列）分块. (3) AeTTTj??j,eiA??ieiAej??ij. 【典型题目】： 5 初等变换、初等矩阵的应用： (1) 求矩阵的秩； (2) 求可逆矩阵； (3) 解线性方程组； (4) 解矩阵方程； (5) 求向量组的线性组合； (6) 向量组线性相关性的判断； (7) 求向量组的秩及最大无关组； 【典型题目】： 34