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∴CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥AB1，又CE⊥AB1， ∴AB1⊥平面CDE；
（2）由CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥DE ∵AB1⊥平面CDE ∴DE⊥AB1,
∴DE是异面直线AB1与CD的公垂线段 ∵CE=
312，AC=1 , ∴CD=.∴DE?(CE)2?(CD)2?； 222（3）连结B1C，易证B1C⊥AC，又BC⊥AC ,
∴∠B1CB是二面角B1—AC—B的平面角. 在Rt△CEA中，CE=∴AB1?30
，BC=AC=1,∴∠B1AC=6021?2， ∴BB1?(AB1)2?(AB)2?2, 2cos60BB1∴ tg?B1CB??2 , ∴?B1CB?arctg2.
BC说明：作出公垂线段和二面角的平面角是正确解题的前提, 当然, 准确地作出应当有严格的逻辑推理作为基石.
例4、在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，S D=2a，在线段SA上取一点E（不含端点）使EC=AC，截面CDE与SB交于点F。 （1）求证：四边形EFCD为直角梯形； （2）求二面角B-EF-C的平面角的正切值；
CD（3）设SB的中点为M，当的值是多少时，能使△DMC
ABS为直角三角形？请给出证明. FE解：（1）∵ CD∥AB，AB?平面SAB ∴CD∥平面SAB M面EFCD∩面SAB=EF，
∴CD∥EF ∵?D?900,?CD?AD, D又SD?面ABCD
B∴SD?CD ?CD?平面SAD，∴CD?ED又AEF?AB?CD
?EFCD为直角梯形
（2）?CD?平面SAD,EF∥CD,EF?平面SAD
?AE?EF,DE?EF,??AED即为二面角D—EF—C的平面角
ED?CD,?Rt?CDE中EC2?ED2?CD2 而AC2?AD2?CD2且AC?EC
?ED?AD??,??ADE为等腰三角形，??AED??EAD?tan?AED?2 (3)当
CCD?2时，?DMC为直角三角形 . AB?AB?a,?CD?2a,BD?AB2?AD2?2a,?BDC?450 ?BC?2a,BC?BD,
?SD?平面ABCD,?SD?BC,?BC?平面SBD.
在?SBD中，SD?DB,M为SB中点，?MD?SB.
?MD?平面SBC,MC?平面SBC, ?MD?MC??DMC为直角三角形。
例5．如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，AC与BD交于点E，CB与CB1交于点F.
（I）求证：A1C⊥平BDC1；
（II）求二面角B—EF—C的大小（结果用反三角函数值表示）.
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解法一：（Ⅰ）∵A1A⊥底面ABCD，则AC是A1C在底面ABCD的射影. ∵AC⊥BD.∴A1C⊥BD.
同理A1C⊥DC1,又BD∩DC1=D, ∴A1C⊥平面BDC1.
（Ⅱ）取EF的中点H，连结BH、CH，
?BE?BF?2,?BH?EF.2同理CH?EF.
??BHC是二面角B?EF?C的平面角.又E、F分别是AC、B1C的中点，
1AB1.?2??BEF与?CEF是两个全等的正三角形.?EF//36BF?.24于是在?BCH中,由余弦定理,得故BH?CH?cos?BHC?BH?CH?BC?2BH?CH222(626)?()2?1144??3662??4411??BHC?arccos(?)???arccos.331故二面角B?EF?C的大小为??arccos.3
解法二：（Ⅰ）以点C为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,0,0). D(1,0,0),B(0,1,0),A1(1,1,1),C1(0,0,1),D1(1,0,1)
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?CA1?(1,1,1,),BD?(1,?1,0),DC1?(?1,0,1).?CA1?BD?1?1?0,CA1?DC1??1?1?0.即CA1?BD,CA1?DC1又BD?DC1?D,?A1C?平面BDC1.（Ⅱ）同（I）可证，BD1⊥平面AB1C.
则?A1D,D1B?就是所求二面角的平面角补角的大小.?A1C?(?1,?1,?1),D1B?(?1,1,?1),?cos?A1C,D1B???1?.3?331A1C?D1B|A1C|?|D1B|
1故二面角B?EF?C的大小为??arccos.3
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立体几何过关测试
1．如果直线l与平面?的一条垂线垂直，那么l与?的位置关系是 。 2、侧棱长为2的正三棱锥，若其底面周长为9，则该正三棱锥的体积是 。 3、若m、n表示直线，?表示平面，则下列命题中，正确的个数为 。
m//n?m???m???m//???n???m//n?m?n ① ② ③ ④?????n??
m???n???n//??m?n?4、已知a、b、c是三条不重合直线，?、?、?是三个不重合的平面，下列命题：
⑴a∥c，b∥c?a∥b；⑵a∥?，b∥??a∥b；⑶c∥?，c∥???∥?；⑷?∥?，?∥???∥?；⑸a∥c，?∥c?a∥?；⑹a∥?，?∥??a∥?。其中正确的命题是 。 5、已知正方体ABCD－A'B'C'D'，则该正方体的体积、四棱锥C'-ABCD的体积以及该正方体的外接球的体积之比为 。
6、已知正方体ABCD-A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点.
^面AB1D1． 证明：（1）C1O∥面AB1D1； (2）AC 1
A1D1C1B1
ADCOB
17．如图为正方体ABCD-A1B1C1D1切去一个三棱锥B1—A1BC1后得到的几何体． （1） 若点O为底面ABCD的中心，求证：直线D1O∥平面A1BC1； （2）． 求证：平面A1BC1⊥平面BD1D．
8、如图，在多面体ABCDE中，AE⊥ABC，BD∥AE，且AC＝AB＝BC＝BD＝2，AE＝1，F在CD上 （1）求多面体ABCDE的体积；（2）若F为CD中点,求证：EF⊥面BCD； (3)当DF的值= 时，能使AC ∥平面EFB，并给出证明。 FCE A C
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9、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a,E为棱CC1上的的动点． （1）求证：A1E⊥BD；
（2）当E恰为棱CC1的中点时，求证：平面A1BD⊥平面EBD；（3）求VA1 参考答案
1、l在平面?内或者l∥? 2、
33 3、3个 4、⑴、⑷ 5、6:2:33? 4_BDEA1。
D1C1B1ECDAB6、证明：（1）连结A1C1，设AC11?B1D1=O1 连结AO1，
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