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⑵棱锥具有的性质：
①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.
②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形. ⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：
①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.
②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.
⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.
⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；
⑧每个四面体都有内切球，球心I是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.
[注]：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（×）（各个侧面的
A等腰三角形不知是否全等） baii. 若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直. c简证：AB⊥CD，AC⊥BD? BC⊥AD. 令AB?a,AD?c,AC?b
BCDEF得BC?AC?AB?b?a,AD?c?BC?AD?bc?ac，已知a?c?b?0,b?a?c?0
A????DO'HBGC?ac?bc?0则BC?AD?0.
iii. 空间四边形OABC且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形. iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.
简证：取AC中点O'，则oo??AC,BO??AC?AC?平面OO?B?AC?BO??FGH?90°易知EFGH为平行四边形?EFGH为长方形.若对角线等，则EF?FG?EFGH为正方形. 3. 球：⑴球的截面是一个圆面. ①球的表面积公式：S?4?R2. ②球的体积公式：V??R3.
43Or⑵纬度、经度：
①纬度：地球上一点P的纬度是指经过P点的球半径与赤道面所成的角的度数.
②经度：地球上A,B两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点A的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是B点的经度.
附：①圆柱体积：V??r2h（r为半径，h为高） ②圆锥体积：V??r2h（r为半径，h为高） ③锥形体积：V? www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 131Sh（S为底面积，h为高） 3RO高考资源网（ks5u.com） 您身边的高考专家
4. ①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a，h?得
32326a，S侧?a a，S底?443326321322426a?a?a?R??a?R?R?a/3?a?3?a. 43434434411V??S?R?3?S底?R?S底?h 注：球内切于四面体：B?ACD侧33②外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.
六. 空间向量.
1. （1）共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.
注：①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线.（×） [当b?0时，不成立] ②向量a,b,c共面即它们所在直线共面.（×） [可能异面]
③若a∥b，则存在小任一实数?，使a??b.（×）[与b?0不成立] ④若a为非零向量，则0?a?0.（√）[这里用到?b(b?0)之积仍为向量]
（2）共线向量定理：对空间任意两个向量a,b(b?0)，a ∥b的充要条件是存在实数?（具有唯一性），使a??b.
（3）共面向量：若向量a使之平行于平面?或a在?内，则a与?的关系是平行，记作a∥?. （4）①共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，则向量P与向量a,b共面的充要条件是存在实数对x、y使P?xa?yb.
②空间任一点和不共线三点、B、C，则OP?xOA?yOB?zOC(x?y?z?1)是PABC四点共．．．O．．．．．．．A．．．．．面的充要条件.（简证：OP?(1?y?z)OA?yOB?zOC?AP?yAB?zAC?P、A、B、C四点共面）
注：①②是证明四点共面的常用方法.
2. 空间向量基本定理：如果三个向量，那么对空间任一向量P，存在一个唯一．．．．a,b,c不共面．．．的有序实数组x、y、z，使p?xa?yb?zc.
推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P, 都存在唯一的有序实数组x、y、z使 OP?xOA?yOB?zOC(这里隐含x+y+z≠1). 注：设四面体ABCD的三条棱，AB?b,AC?c,AD?d,其 BMADGCwww.ks5u.com 版权所有@高考资源网 高考资源网（ks5u.com） 您身边的高考专家
中Q是△BCD的重心，则向量AQ?(a?b?c)用AQ?AM?MQ即证.
3. （1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令a=(a1,a2,a3),b?(b1,b2,b3)，则
a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)?a?(?a1,?a2,?a3)(??R)b?a1??b1,a2??b2,a3??b3(??R)?a?b?a1b1?a2b2?a3b3 a∥
13a1a2a3 a?b?a1b1?a2b2?a3b3?0 ??b1b2b3a?a?a?a12?a22?a3????a?bcos?a,b?????|a|?|b|2(用到常用的向量模与向量之间的转化：a2?a?a?a?a?a)
a1b1?a2b2?a3b32a12?a22?a3?b122?b22?b3
②空间两点的距离公式：d?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2.
（2）法向量：若向量a所在直线垂直于平面?，则称这个向量垂直于平面?，记作a??，如果a??那么向量a叫做平面?的法向量.
（3）用向量的常用方法：
①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面?的法向量，AB是平面?的一条射线，其中A??，则点B到平面?的距离为|AB?n||n|.
②利用法向量求二面角的平面角定理：设n1,n2分别是二面角??l??中平面?,?的法向量，则n1,n2所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（n1,n2方向相同，则为补角，n1,n2反方，则为其夹角）.
③证直线和平面平行定理：已知直线a??平面?，A?B?a,C?D??，且CDE三点不共线，则a∥?的充要条件是存在有序实数对???使AB??CD??CE.（常设AB??CD??CE求解?,?若?,?存在即证毕，若?,?不存在，则直线AB与平面相交）.
An▲BB??CA▲n1CDEn2??
立体几何知识要点 一、知识提纲
（一）空间的直线与平面
⒈平面的基本性质 ⑴三个公理及公理三的三个推论和它们的用途． ⑵斜二测画法．
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⒉空间两条直线的位置关系：相交直线、平行直线、异面直线． ⑴公理四（平行线的传递性）．等角定理． ⑵异面直线的判定：判定定理、反证法． ⑶异面直线所成的角：定义（求法）、范围．
⒊直线和平面平行 直线和平面的位置关系、直线和平面平行的判定与性质． ⒋直线和平面垂直
⑴直线和平面垂直：定义、判定定理． ⑵三垂线定理及逆定理． 5.平面和平面平行
两个平面的位置关系、两个平面平行的判定与性质． 6.平面和平面垂直
互相垂直的平面及其判定定理、性质定理．
（二）直线与平面的平行和垂直的证明思路（见附图） （三）夹角与距离
7.直线和平面所成的角与二面角
⑴平面的斜线和平面所成的角：三面角余弦公式、最小角定理、斜线和平 面所成的角、直线和平面所成的角．
⑵二面角：①定义、范围、二面角的平面角、直二面角． ②互相垂直的平面及其判定定理、性质定理． 8.距离
⑴点到平面的距离．
⑵直线到与它平行平面的距离．
⑶两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线、公垂线段． ⑷异面直线的距离：异面直线的公垂线及其性质、公垂线段． （四）简单多面体与球 9.棱柱与棱锥 ⑴多面体．
⑵棱柱与它的性质：棱柱、直棱柱、正棱柱、棱柱的性质．
⑶平行六面体与长方体：平行六面体、直平行六面体、长方体、正四棱柱、 正方体；平行六面体的性质、长方体的性质．
⑷棱锥与它的性质：棱锥、正棱锥、棱锥的性质、正棱锥的性质． ⑸直棱柱和正棱锥的直观图的画法． 10.多面体欧拉定理的发现 ⑴简单多面体的欧拉公式． ⑵正多面体． 11.球
⑴球和它的性质：球体、球面、球的大圆、小圆、球面距离． ⑵球的体积公式和表面积公式． 二、常用结论、方法和公式
1.从一点O出发的三条射线OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，则点A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分线上；
2. 已知:直二面角M－AB－N中，AE ? M，BF? N,∠EAB=?1,∠ABF=?2，异面直线AE与BF所成的角为?，则cos??cos?1cos?2;
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3.立平斜公式：如图，AB和平面所成的角是?1，AC在平面内，BC和AB的射影BA1成?2，设∠ABC=?3,则cos?1cos?2=cos?3；
?4.异面直线所成角的求法：
（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；
（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系； 5.直线与平面所成的角
斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键； 6.二面角的求法
（1）定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；
（2）三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；
（3）垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；
（4）射影法：利用面积射影公式S射＝S原cos?,其中?为平面角的大小，此法不必在图形中画出平面角；
特别:对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。 7.空间距离的求法
（1）两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线，所以一般先利用垂直作出公垂线，然后再进行计算；
（2）求点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线再求解；
（3）求点到平面的距离，一是用垂面法，借助面面垂直的性质来作，因此，确定已知面的垂面是关键；二是不作出公垂线，转化为求三棱锥的高，利用等体积法列方程求解； 8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为?，则S侧cos?=S底；
9.已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为?,?,?,因此有
BDAA1Ccos
2
?+cos2?+cos2?=1; 若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为
2
?,?,?,则有cos
?+cos2?+cos2?=2;
10.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；
11.欧拉公式：如果简单多面体的顶点数为V,面数为F,棱数为E.那么V+F－E=2；并且棱数E＝各顶点连着的棱数和的一半＝各面边数和的一半；
12.柱体的体积公式：柱体（棱柱、圆柱）的体积公式是V柱体=Sh.其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.
13.直棱柱的侧面积和全面积
S直棱柱侧= c? (c表示底面周长，?表示侧棱长) S棱柱全=S底+S侧 14．棱锥的体积:V棱锥=
1Sh，其中S是棱锥的底面积，h是棱锥的高。 3www.ks5u.com 版权所有@高考资源网