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∴cos?OP,DM??2 2平面ABCD与平面PBC所成的锐二面角的大小为
??????????????10 416．（江苏省2010届苏北四市第一次联考）(本小题满分14分)
如图已知在三棱柱ABC——A1B1C1中，AA1⊥面ABC，AC=BC，M、N、P、Q分别是AA1、BB1、AB、B1C1的中点．
（1）求证：面PCC1⊥面MNQ；
C1 C （2）求证：PC1∥面MNQ；
Q N B B1
P （3）若AA1?AB?2AC?2a,求三棱锥P?MNQ
A A1 M 的体积. 16、证明：（1）∵AC=BC， P是AB的中点，∴AB⊥PC， ∵AA1⊥面ABC，CC1∥AA1，，∴CC1⊥面ABC而AB在平面ABC内 ∴CC1⊥AB， ∵CC1∩PC=C ∴AB⊥面PCC1；
又∵M、N分别是AA1、BB1的中点，四边形AA1B1B是平行四边形，MN∥AB， ∴MN⊥面PCC1 ∵MN在平面MNQ内，∴面PCC1⊥面MNQ；??? 5分
（2）连PB1与MN相交于K，连KQ，∵MN∥PB，N为BB1的中点，∴K为PB1的中点． 又∵Q是C1B1的中点∴PC1∥KQ ，而KQ?平面MNQ，PC1?平面MNQ ∴PC1∥面MNQ． ??????????10分
（3）?Q为B1C1的中点，?Q到平面AA1B1B的距离h等于CP的一半，故h?2a， 4所以VP?MNQ?VQ?PMN?1112223S?PMN?h???2a?a?a?a.?????14分 332242417. （常州市2011届高三数学调研）（15） 如图所示的几何体由斜三棱柱ABC?A1B1C1和
A2B2C2?A1B1C1组成，其斜三棱柱ABC?A1B1C1和A2B2C2?A1B1C1满足ABB1A1?A2B2B1A1、BCC1B1?B2C2C1B1、 CAA1C1?C2A2A1C1。 C2 A2 B2 C1 （1）证明：AA2?A1C1； （2）证明：AA2?面ABC；
（3）若AB?AC?AA1，?CAB?90，
?A1 C A B B1 面AA1B?面ABC. 问：侧棱AA1和底面ABC
所成的角是多少度时，A1C2∥面BCC1B1.
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17、（1）取AA2的中点T，连接A1T、C1T，∵ ∴A1A?A1A2,CAA1C1?C2A2A1C1
C1A?C1A2 ∴AA2?A1T,AA2?C1T.
若A1、C1、T共线，易知AA2?A1C1 ； 若A1、C1、T不共线，AA2?面A1C1T ∴AA2?A1C1
（2）同（1）可证明AA2?面B1C1T， ∵面C1TA1与面B1C1T过公共点T， 所以面C1TA1与面B1C1T重合. 即面A1B1C1∥面ABC ∴AA2?面ABC （3）
? 316．（姜堰二中学情调查（三））（本小题满分14分）
如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，且AB//EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB?2，AD?EF?1． （1）求证：AF?平面CBF；
（2）设FC的中点为M，求证：OM//平面DAF； （3）设平面CBF将几何体EFABCD分成的两个锥体的体积分别为VF?ABCD，VF?CBE，
求VF?ABCD:VF?CBE
16．（本小题满分14分）
如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，且AB//EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB?2，AD?EF?1． C （1）求证：AF?平面CBF；
（2）设FC的中点为M，求证：OM//平面DAF； （3）设平面CBF将几何体EFABCD分成的两个锥体的 D B M 体积分别为VF?ABCD，VF?CBE，求VF?ABCD:VF?CBE
E （1）证明： ?平面ABCD?平面ABEF,CB?AB, O 平面ABCD?平面ABEF=AB，
F ?CB?平面ABEF， A ?AF?平面ABEF，?AF?CB ,??? 2分
又?AB为圆O的直径，?AF?BF， ?AF?平面CBF。??? 5分
1 （2）设DF的中点为N，则MN//CD，
21又AO//CD，则MN//AO，MNAO为平行四边形， ??? 7分
2?OM//AN，又AN?平面DAF，OM?平面DAF，
?OM//平面DAF。??? 9分 （3）过点F作FG?AB于G，?平面ABCD?平面ABEF，
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12?FG?平面ABCD，?VF?ABCD?SABCD?FG?FG，??? 11分
33 ?CB?平面ABEF，
1111?VF?CBE?VC?BFE?S?BFE?CB??EF?FG?CB?FG，??? 13分
3326?VF?ABCD:VF?CBE?4:1． ??? 14分
15. （泰州市2011届高三第一次模拟考试）(本小题满分14分)
已知四面体ABCD中，AB?AC,BD?CD,平面ABC?平面BCD,E,F分别为棱BC和
E D C B F G A H
AD的中点。
（1）求证：AE?平面BCD; （2）求证：AD?BC;
（3）若?ABC内的点G满足FG∥平面BCD,
A
F
B E
C
设点G构成集合T，试描述点集T的位置（不必说明理由）
15. ⑴∵在?ABC中，AB?AC，E为BC的中点，∴AE?BC.??????????D （1分）
又∵平面ABC?平面BCD，AE?平面ABC，
平面ABC?平面BCD?BC，∴AE?平面BCD.?????????????（5分）
⑵∵BD?CD，E为BC的中点，
∴BC?DE.??????????（6分）
由⑴AE?BC，又AE?DE?E，AE，DE?平面AED，∴BC?平面AED.????（9分）
又AD?平面AED，∴BC?AD，即AD?BC. ??????????（10分） ⑶取AB、AC的中点M、N，所有的点G构成的集合T即为?ABC的中位线MN.??????????????????????????????（14分） 16．（江苏省南通市2011届高三第一次调研测试）（本题满分14分）
如图，已知□ABCD，直线BC⊥平面ABE，F为CE的中点．
（第16题）
（1）求证：直线AE∥平面BDF；
（2）若?AEB?90?，求证：平面BDF⊥平面BCE．
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证明：（1）设AC∩BD＝G，连接FG．
由四边形ABCD为平行四边形，得G是AC的中点．
又∵F是EC中点，∴在△ACE中，FG∥AE．?????????????????3
分
∵AE??平面BFD，FG?平面BFD，∴AE∥平面BFD； ???????????6
分
（2）∵?AEB?π，∴AE?BE． 2又∵直线BC⊥平面ABE，∴AE?BC．
又BC?BE?B，∴直线AE?平面BCE． ????????????????8分
由（1）知，FG∥AE，∴直线FG?平面BCE． ???????????????10分
又直线FG?平面DBF，∴平面DBF⊥平面BCE． ???????????????14分
15、（南通市六所省重点高中联考试卷）（本题满分14分）如图,在直三棱柱ABC?A1B1C1中,?ACB?90，
0E,F,G分别是AA1,AC,BB1的中点，且CG?C1G. (Ⅰ)求证：CG//平面BEF；
(Ⅱ)求证：平面BEF?平面AC11G. 、证:(Ⅰ)连接AG交BE于D,连接DF,EG.
∵E,G分别是AA1,BB1的中点，∴AE∥BG且AE=BG,∴四边形AEGB是矩形. ∴D是AG的中点????????????????????????????(3分)
又∵F是AC的中点,∴DF∥CG?????????????????????(5分) 则由DF?面BEF,CG?面BEF,得CG∥面BEF?????????????(7分) (注:利用面面平行来证明的,类似给分)
(Ⅱ) ∵在直三棱柱ABC?A1B1C1中，C1C⊥底面A1B1C1,∴C1C⊥A1C1.
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又∵?AC11B1??ACB?90,即C1B1⊥A1C1,∴A1C1⊥面B1C1CB?????(9分) 而CG?面B1C1CB,∴A1C1⊥CG ????????????(11分) 又CG?C1G,由(Ⅰ) DF∥CG，?AC11?DF,DF?C1G ∴DF?平面AC11G
???????????????(13分)
0?DF?平面BEF，∴平面BEF?平面AC11G. ???????????(14分)
5．（南通市六所省重点高中联考试卷）如图，已知三棱锥O－ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．
A （1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；
（2）求二面角A－BE－C的余弦值．
E C O B （第5题） 解：（1）以O为原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系． 则有A（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，0）． ???????? ????????2分 EB?（2，，） 0 0?（0， 1，） 0?（2， ?1，）， 0AC?（0，， 2 ?1），?????????22cos
55?52由于异面直线BE与AC所成的角是锐角，故其余弦值是．??????5分
5???????? 1， ?1)，设平面ABE的法向量为n1?(x，y，z)， 0 ?1)，AE?(0，（2）AB?(2，，?????????2x?z?0,则由n1?AB，n1?AE，得?目 取n＝（1，2，2），
y?z?0.?平面BEC的一个法向量为n2＝（0，0，1），
????????????7分
n1?n222cos?n1，n2????．??9分
|n1|?|n2|1?4?432由于二面角A－BE－C的平面角是n1与n2的夹角的补角，其余弦值是－．?? 10分
316. （苏北四市2011届高三第一次调研考试）（本小题满分14分） 如图，在四棱锥P?ABCD中，四边形ABCD是菱形，PB?PD，且E，F分别是BC， CDP 的中点. 求证： （1）EF∥平面PBD； （2）平面PEF⊥平面PAC.
16．（1）因为E，F分别是BC，CD的中点，
A F B
E （第16题图）
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