【考点】解直角三角形． 【专题】计算题；压轴题．
【分析】在直角△ABD中，cos∠B=，BD=6，可得，AB=10，AD=8，在直角△ACD中，CD=cot30°×AD，解答出即可．
【解答】解：∵AD⊥BC于D，cos∠B=，BD=6， ∴在直角△ABD中，得，AB=
==10，
AD===8，
∴在直角△ACD中，∠C=30°， CD=cot30°×AD， =×8， =． 【点评】本题主要考查了直角三角形勾股定理及三角函数的应用，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键． 5．（2013?重庆模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，AC=2，CD=1，设∠CAD=a．
（1）求sina、cosa、tana的值； （2）若∠B=∠CAD，求BD的长．
【考点】解直角三角形． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】（1）根据勾股定理和锐角三角函数的概念来求解．
（2）由∠B=∠CAD=α和（1）求得的tanα，根据直角三角形锐角三角函数求出BC，从而求出BD的长．
【解答】解：在Rt△ACD中， ∵AC=2，DC=1，
∴AD=（1）sinα=
=
==
． ，cosα=
=
=
，tanα=
=；
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（2）在Rt△ABC中， tanB=即tanα=
， =，
∴BC=4，
∴BD=BC﹣CD=4﹣1=3．
【点评】考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质和相似三角形的性质，进行逻辑推理能力和运算能力． 6．（2013?南岸区校级模拟）如图，AD是△ABC中BC边上的高，且∠B=30°，∠C=45°，CD=2．求BC的长．
【考点】解直角三角形． 【专题】压轴题．
【分析】先在Rt△ACD中，运用正切函数的定义得出AD=CD=2，然后在Rt△ABD中，运用正切函数的定义得出BD=，则根据BC=BD+CD即可求解． 【解答】解：∵AD是△ABC中BC边上的高， ∴AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90． 在Rt△ACD中，
∵tanC===tan45°=1，
∴AD=2．
在Rt△ABD中， ∵tanB=
=
=tan30°=
，
∴BD=． ∴BC=BD+CD=+2， 即BC的长为+2．
【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系． 7．（2011?枣庄）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连接EF．
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（1）证明：EF=CF；
（2）当tan∠ADE=时，求EF的长．
【考点】解直角三角形；全等三角形的判定；勾股定理；直角梯形． 【专题】计算题；证明题；压轴题． 【分析】（1）过D作DG⊥BC于G，由已知可得四边形ABGD为正方形，然后利用正方形的性质和已知条件证明△ADE≌△GDC，接着利用全等三角形的性质证明△EDF≌△CDF，
（2）由tan∠ADE=根据已知条件可以求出AE=GC=2．设EF=x，则BF=8﹣CF=8﹣x，BE=4．在Rt△BEF中根据勾股定理即可求出x，也就求出了EF． 【解答】（1）证明：过D作DG⊥BC于G． 由已知可得四边形ABGD为正方形， ∵DE⊥DC．
∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG， ∴∠ADE=∠GDC．
又∵∠A=∠DGC且AD=GD， ∴△ADE≌△GDC， ∴DE=DC且AE=GC． 在△EDF和△CDF中
，
∴△EDF≌△CDF， ∴EF=CF；
（2）解：∵tan∠ADE=
=，
∴AE=GC=2． ∴BC=8，
BE=4，设CF=x，则BF=8﹣CF=8﹣x，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：x=（8﹣x）+4， 解得x=5， 即EF=5．
2
2
2
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【点评】本题考查梯形、正方形、直角三角形的相关知识．解决此类题要懂得用梯形的常用辅助线，把梯形分割为矩形和直角三角形，从而由矩形和直角三角形的性质来求解． 8．（2013?娄底）2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象．已知A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度．（精确到0.1米，参考数据：
）
【考点】解直角三角形的应用． 【专题】压轴题．
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，设CD=x，在Rt△ACD中表示出AD，在Rt△BCD中表示出BD，再由AB=4米，即可得出关于x的方程，解出即可． 【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D， 设CD=x，
在Rt△ACD中，∠CAD=30°， 则AD=CD?cot30°=CD=x， 在Rt△BCD中，∠CBD=45°， 则BD=CD=x，
由题意得，AD﹣BD=AB，即x﹣x=4，
解得：x==2（+1）≈5.5．
答：生命所在点C的深度为5.5米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数知识表示出相关线段的长度，注意方程思想的运用．
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9．（2013?眉山）如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：．
（1）求加固后坝底增加的宽度AF；
（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 【专题】应用题；压轴题． 【分析】（1）分别过E、D作AB的垂线，设垂足为G、H．在Rt△EFG中，根据坡面的铅直高度（即坝高）及坡比，即可求出水平宽FG的长；同理可在Rt△ADH中求出AH的长；由AF=FG+GH﹣AH求出AF的长．
（2）已知了梯形AFED的上下底和高，易求得其面积．梯形AFED的面积乘以坝长即为所需的土石的体积．
【解答】
解：（1）分别过点E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H． ∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，
∴DH平行且等于EG． 故四边形EGHD是矩形． ∴ED=GH． 在Rt△ADH中，
AH=DH÷tan∠DAH=10÷tan45°=10（米）． 在Rt△FGE中， i=
=
，
∴FG=EG=10（米）．
∴AF=FG+GH﹣AH=10+3﹣10=10﹣7（米）；
（2）加宽部分的体积V=S梯形AFED×坝长 =×（3+10
﹣7）×10×500
=25000﹣10000（立方米）． 答：（1）加固后坝底增加的宽度AF为（10﹣7）米； （2）完成这项工程需要土石（25000﹣10000）立方米．
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