则解得：
， ，
故直线BC的解析式为：y=x﹣3， ∵B（3，0），C（0，﹣3）， ∴BO=OC=3， ∴∠ABC=45°；
（3）过点P作PD⊥x轴于点D， ∵∠ACB=∠PAB，∠ABC=∠PBA， ∴△ABP∽△CBA， ∴
=
，
∵BO=OC=3， ∴BC=3， ∵A（﹣1，0），B（3，0）， ∴AB=4， ∴
=
，
，
解得：BP=
由题意可得：PD∥OC， ∴DB=DP=， ∴OD=3﹣=， 则P（，﹣）．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数和二次函数解析式等知识，熟练应用相似三角形的判定方法得出△ABP∽△CBA是解题关键．
18．（2015?德阳）如图，已知抛物线y=ax+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，且OC=OB．
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2
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标．
【考点】二次函数综合题． 【专题】压轴题． 【分析】（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，四边形BOCE的面积=三角形BFE的面积+直角梯形FOCE的面积．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长．在三角形BFE中，BF=BO﹣OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标；
（3）由P在抛物线的对称轴上，设出P坐标为（﹣1，m），如图所示，过A′作A′N⊥对称轴于N，由旋转的性质得到一对边相等，再由同角的余角相等得到一对角相等，根据一对直角相等，利用AAS得到△A′NP≌△PMA，由全等三角形的对应边相等得到A′N=PM=|m|，PN=AM=2，表示出A′坐标，将A′坐标代入抛物线解析式中求出相应m的值，即可确定出P的坐标．
2
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0）， ∴OB=3， ∵OC=OB， ∴OC=3， ∴c=3，
∴，
解得：，
2
∴所求抛物线解析式为：y=﹣x﹣2x+3；
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（2）如图2，过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a﹣2a+3）（﹣3＜a＜0），
2
∴EF=﹣a﹣2a+3，BF=a+3，OF=﹣a， ∴S四边形BOCE=BF?EF+（OC+EF）?OF，
=（a+3）?（﹣a﹣2a+3）+（﹣a﹣2a+6）?（﹣a）， =﹣
﹣a+，
2
2
2
2
=﹣（a+）+，
．
∴当a=﹣时，S四边形BOCE最大，且最大值为此时，点E坐标为（﹣，
）；
（3）∵抛物线y=﹣x﹣2x+3的对称轴为x=﹣1，点P在抛物线的对称轴上， ∴设P（﹣1，m），
∵线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上， ①当m≥0时，
∴PA=PA1，∠APA1=90°，
如图3，过A1作A1N⊥对称轴于N，设对称轴于x轴交于点M， ∴∠NPA1+∠MPA=∠NA1P+∠NPA1=90°， ∴∠NA1P=∠NPA，
在△A1NP与△PMA中，
，
∴△A1NP≌△PMA，
∴A1N=PM=m，PN=AM=2， ∴A1（m﹣1，m+2），
22
代入y=﹣x﹣2x+3得：m+2=﹣（m﹣1）﹣2（m﹣1）+3， 解得：m=1，m=﹣2（舍去），
②当m＜0时，要使P2A=P2A，2，由图可知A2点与B点重合， ∵∠AP2A2=90°，∴MP2=MA=2， ∴P2（﹣1，﹣2），
∴满足条件的点P的坐标为P（﹣1，1）或（﹣1，﹣2）．
2
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【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数，二次函数的性质，四边形的面积，综合性较强，难度适中．利用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
19．（2015?青海）如图，二次函数y=ax+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．该抛物线的顶点为M． （1）求该抛物线的解析式；
（2）判断△BCM的形状，并说明理由；
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形与△BCM相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2
【考点】二次函数综合题． 【专题】压轴题． 【分析】（1）已知了抛物线图象上的三点坐标，可用待定系数法求出该抛物线的解析式； （2）根据B、C、M的坐标，可求得△BCM三边的长，然后判断这三条边的长是否符合勾股定理即可；
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（3）假设存在符合条件的P点；首先连接AC，根据A、C的坐标及（2）题所得△BDC三边的比例关系，即可判断出点O符合P点的要求，因此以P、A、C为顶点的三角形也必与△COA相似，那么分别过A、C作线段AC的垂线，这两条垂线与坐标轴的交点也符合点P点要求，可根据相似三角形的性质（或射影定理）求得OP的长，也就得到了点P的坐标．
2
【解答】解：（1）∵二次函数y=ax+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点， ∴
，
解得：，
2
则抛物线解析式为y=x﹣2x﹣3；
（2）△BCM为直角三角形，理由为：
22
对于抛物线解析式y=x﹣2x﹣3=（x﹣1）﹣4，即顶点M坐标为（1，﹣4）， 令x=0，得到y=﹣3，即C（0，﹣3），
根据勾股定理得：BC=3，BM=2，CM=，
222
∵BM=BC+CM，
∴△BCM为直角三角形；
（3）若∠APC=90°，即P点和O点重合，如图1，
连接AC，
∵∠AOC=∠MCB=90°，且
，
∴Rt△AOC∽Rt△MCB， ∴此时P点坐标为（0，0）．
若P点在y轴上，则∠PAC=90°，如图2，过A作AP1⊥AC交y轴正半轴于P1，
∵Rt△CAP1∽Rt△COA∽Rt△BCM，
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