【点评】此题是一道典型的“存在性问题”，结合二次函数图象和等腰三角形、直角梯形的性质，考查了它们存在的条件，有一定的开放性．
22．（2015?鄂州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax+bx+c的对称轴是x=﹣且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．
（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2
【考点】二次函数综合题． 【专题】压轴题．
【分析】（1）①先求的直线y=x+2与x轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点B的坐标；②设抛物线的解析式为y=y=a（x+4）（x﹣1），然后将点C的坐标代入即可求得a的值；
（2）设点P、Q的横坐标为m，分别求得点P、Q的纵坐标，从而可得到线段PQ=
m
2
﹣2m，然后利用三角形的面积公式可求得S△PAC=×PQ×4，然后利用配方法可求得△PAC的面积的最大值以及此时m的值，从而可求得点P的坐标；
（3）首先可证明△ABC∽△ACO∽△CBO，然后分以下几种情况分类讨论即可：①当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC；②根据抛物线的对称性，当M（﹣3，
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2）时，△MAN∽△ABC； ④当点M在第四象限时，解题时，需要注意相似三角形的对应关系．
【解答】解：（1）①y=∴C（0，2），A（﹣4，0），
由抛物线的对称性可知：点A与点B关于x=﹣对称， ∴点B的坐标为1，0）．
2
②∵抛物线y=ax+bx+c过A（﹣4，0），B（1，0）， ∴可设抛物线解析式为y=a（x+4）（x﹣1）， 又∵抛物线过点C（0，2）， ∴2=﹣4a ∴a=∴y=
x
2
当x=0时，y=2，当y=0时，x=﹣4，
x+2．
m
2
（2）设P（m，m+2）．
过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，
∴Q（m，m+2）， ∴PQ==
2
m
2
m+2﹣（m+2）
m﹣2m，
∵S△PAC=×PQ×4，
=2PQ=﹣m﹣4m=﹣（m+2）+4，
∴当m=﹣2时，△PAC的面积有最大值是4， 此时P（﹣2，3）．
（3）在Rt△AOC中，tan∠CAO=在Rt△BOC中，tan∠BCO=， ∴∠CAO=∠BCO， ∵∠BCO+∠OBC=90°， ∴∠CAO+∠OBC=90°， ∴∠ACB=90°，
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2
2
∴△ABC∽△ACO∽△CBO， 如下图：
①当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC； ②根据抛物线的对称性，当M（﹣3，2）时，△MAN∽△ABC； ③当点M在第四象限时，设M（n，∴MN=n+n﹣2，AN=n+4 当
时，MN=AN，即n+n﹣2=（n+4）
2
2
2
n
2
n+2），则N（n，0）
整理得：n+2n﹣8=0
解得：n1=﹣4（舍），n2=2 ∴M（2，﹣3）； 当
时，MN=2AN，即n+n﹣2=2（n+4），
2
2
整理得：n﹣n﹣20=0 解得：n1=﹣4（舍），n2=5， ∴M（5，﹣18）．
综上所述：存在M1（0，2），M2（﹣3，2），M3（2，﹣3），M4（5，﹣18），使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似．
【点评】本题主要考查的是二次函数与相似三角形的综合应用，难度较大，解答本题需要同学们熟练掌握二次函数和相似三角形的相关性质．
23．（2015?大庆）已知二次函数y=x+bx﹣4的图象与y轴的交点为C，与x轴正半轴的交点为A，且tan∠ACO=
（1）求二次函数的解析式；
（2）P为二次函数图象的顶点，Q为其对称轴上的一点，QC平分∠PQO，求Q点坐标； （3）是否存在实数x1、x2（x1＜x2），当x1≤x≤x2时，y的取值范围为直接写在x1，x2的值；若不存在，说明理由．
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2
≤y≤？若存在，
【考点】二次函数综合题． 【专题】压轴题．
【分析】（1）首先根据tan∠ACO=，求出OA的值，即可判断出A点的坐标；然后把A点的坐标代入y=x+bx﹣4，求出b的值，即可判断出二次函数的解析式．
（2）首先根据Q为抛物线对称轴上的一点，设点Q的坐标为（﹣，n）；然后根据∠OQC=∠CQP、∠CQP=∠OCQ，可得∠OQC=∠OCQ，所以OQ=OC，据此求出n的值，进而判断出Q点坐标即可．
（3）根据题意，分3种情况：①当x1≤x2≤﹣时；②当x1≤﹣≤x2时；③当﹣＜x1≤x2时；然后根据二次函数的最值的求法，求出满足题意的实数x1、x2（x1＜x2），使得当x1≤x≤x2时，y的取值范围为
≤y≤
即可．
2
【解答】解：（1）如图1，连接AC，
，
∵二次函数y=x+bx﹣4的图象与y轴的交点为C， ∴C点的坐标为（0，﹣4）， ∵tan∠ACO=， ∴
，
2
又∵OC=4， ∴OA=1，
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∴A点的坐标为（1，0），
把A（1，0）代入y=x+bx﹣4， 可得0=1+b﹣4， 解得b=3，
2
∴二次函数的解析式是：y=x+3x﹣4．
（2）如图2，
2
，
∵y=x+3x﹣4，
∴抛物线的对称轴是：x=﹣， ∵Q为抛物线对称轴上的一点， ∴设点Q的坐标为（﹣，n）， ∵抛物线的对称轴平行于y轴， ∴∠CQP=∠OCQ， 又∵∠OQC=∠CQP， ∴∠OQC=∠OCQ， ∴OQ=OC， ∴
，
2
∴解得n=±
， ，
）或（﹣，﹣
）．
∴Q点坐标是（﹣，
（3）①当x1≤x2≤﹣时，二次函数y=x+3x﹣4单调递减， ∵y的取值范围为
≤y≤
，
2
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